用数学规划方法解决变压器铁心截面设计问题

邓昌瑞

【摘要】针对电力变压器铁心柱截面设计所涉及的截面的级数、各级的宽度和厚度的确定等问题，可以用数学规划的方法制定其优化方案，并在此基础上能对线圈内筒直径和铁心柱外接圆直径的公差带以及增加油道优化设计给出合理的方案.

【关键词】数学规划；优化模型；填充率；公差带；有效面积

一、问题的提出

电力变压器心式铁心柱截面通常由许多同种宽度的硅钢片叠起来、呈上下左右轴对称的多级阶梯形结构.硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）.在铁心柱和线圈之间要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米.

铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数.而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关.设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗.显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大.但这样制造业工艺复杂，一般铁心柱的级数可参照表1选取.

表1 铁心柱直径与级数关系

问题1：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大？

问题2：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带.因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状.请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带.

问题3：为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道，具体油道数可按表2选取.油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等.分别针对问题1和问题2的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置.

表2 铁心柱直径与油道个数的关系

二、问题假设与符号说明

1.问题的假设

（1）叠片系数为一常数；（2）铁心柱各级硅钢片均与外接圆相切；（3）铁心柱截面形状的好坏由截面积与外接圆面积的比值即填充率确定；（4）硅钢片之间是绝对密合.

2.符号说明

r：外接圆的半径（mm）； li：第i级硅钢片的宽度（mm）；hi：第i级硅钢片的厚度（i=1，2，…，n）；Hi：第1级厚度的一半到第i级厚度之和；S：最大有效截面积（mm2）；Si：第1级以上油道间硅钢片的截面积（mm2）；λ：碟片系数； e：铁心柱外接圆的填充率；φ：线圈内径与铁心柱外接圆原始间隙；ω：含油道各截面积比值相差范围；ES：线圈的内筒直径的上偏差； EI：线圈的内筒直径的下偏差；es：铁心柱外接圆直径的上偏差； si：铁心柱外接圆直径的下偏差.

三、问题的分析

1.问题1的分析

在问题1中，设计铁心有效截面面积最大是设计的关键.在铁心柱截面级数的选择（附表1）当中可知直径为650毫米时属于12～14级，此时可分别求出当级数为12、13、14时的铁心柱截面面积的最大值，再通过比较得出最大值，同时确定铁心柱截面的级数.最后利用Lingo数学软件可解得各级的宽度和厚度.

2.问题2的分析

要使铁心柱具有更好的截面形状，即使铁心柱截面积与其外接圆面积的比值（填充率）越大.以外接圆直径为650 mm为标准，逐步增加铁心柱外接圆直径，计算出相应的填充率，进而得到填充率大于规定标准的取值范围，即为铁心柱外接圆的公差带.

3.问题3的分析

在解决问题1的基础上，增加四个油道，同样以最大有效面积为目标函数，设油道分别位于第i级与j级之间和第p级和q级之间，则j级以上到第p级和q级以上到第n级的厚度分别加六毫米，并加入油道相邻之间的截面面积大约相等为约束条件，从而建立数学规划模型，对油道位置的确定以及对各级宽度和厚度的求解.

四、问题的求解

1.求最大有效截面积的优化模型

（1）目标函数的建立

根据问题1的分析可知：将铁心柱有效截面达到最大作为目标函数.铁心柱截面面积等于各级铁心柱面积（各级的厚度乘以宽度）之和，由于心式铁心柱截面采用多级阶梯形重迭设计，记第i级厚度为hi，宽度为li（i=1，2，…），于是有n级铁心柱最大有效截面积（见式1）.

maxS=λh12l1+2∑ni=2hili.（1）

（2）约束条件的建立

由问题1的分析可知： 第一级厚度的一半到第i级厚度之和Hi，有 Hi=h1/2+∑ij=2hj.

由几何知识可知：第一级厚度的一半到第i级厚度之和的平方加上第i级宽度li一半的平方和等于外接圆半径的平方（勾股定理），即有（见式2）：

H2i+li22=r2.（2）

同时，由题意可知第i级的宽度一定会大于第i+1级的宽度，即：li>li+1.

硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）.因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米，所以存在：li=5ki，h1≥26，ln≥20.

由此可得到铁心柱有效截面积最大的优化模型（见式3）.

V：maxS=λh12l1+2∑ni=2hili

s.t.Hi=h12+∑i2hi，H2i+li22=r2，

li=5ki，h1≥26，ln≥20，ki∈N+， （i=1，2，…，n）. （3）

将r=325 mm代入上式，运用Lingo11.0数学软件编程可求得当n取各级的横截面积及各级厚度和宽度，并由此可得到当铁心柱截面级数为14级时有效截面积最大S=320753.1λ.

根据电力变压器铁心柱设计叠片系数相关信息有（见表3）：

表3 叠片系数与有效截面积对应关系

从而得到优化后的铁心柱的截面设计结果.

2.公差带的设计问题

实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带.因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状.

要求增加截面的大小，使铁心柱有更好的截面形状，将截面形状的好坏用铁心柱对外接圆的填充率（截面积与外接圆面积的比值）来表示，填充率越大，铁心柱截面更趋近于圆.当外接圆直径增加时，外接圆面积增大，铁心截面积也随着增加.根据问题1的分析，可求出外接圆直径增加到某值时最大截面积.模型如下：

算出前面式中r增加时对应的S，求出填充率e=Sπr2随r的变化情况.

以r=650 mm时，级数为14级的截面的填充率为标准：e1=S650πr2=0.96657656078212，得到当e>e1时，外接圆直径可增加的范围，可解得外接圆直径r以0.2增加时e的变化情况.解得当r增加到第16个点后，e值小于e1.由此得到铁心柱外接圆可增加直径为：0.32 mm.以650 mm为基准尺寸，得到铁心柱外接圆的偏差范围为：es=0.32，ei=0.

为了便于安装和维护，线圈内筒和铁心柱为间隙配合，记生产设计最小间隙为φ，则线圈内筒偏差为： ES=φ+0.32，EI=φ.

3.油道位置的选定问题

针对问题1中外接圆直径为650毫米时油道的位置进行计算，由表2可知应设计6 mm的油道2个，因为截面在圆内上下、左右对称，故油道也是上下对称的（上下各两个）.要使油道相邻两部分铁心柱的截面积尽量相等，并使其有效截面积最大.在问题1的基础上，以最大有效截面积为目标函数，增加油道.

设油道位于第i级与第j级和第p级与q级之间（i+1=j≤n）， 则第一级厚度的一半到第m级厚度之和Hi（见式4）.

Hm=h12+∑m1hm 2≤m≤i，

h12+∑m1hm+6 j≤m

h12+∑m1hm+12 q≤m≤n.（m=1，2，…，n）（4）

第一级中心水平线到第一油道的截面积有：S1=h12l1+∑i2hili；第一油道到第二油道之间的截面积有：S2=∑pjhplp；第二油道以上截面积有：S3=∑nqhnln.

令S1，S2，S3存在关系：1-2S1S2≤ω，1-2S1S3≤ω（ω为面积比值相差范围）.2S1S2比值越大，油道相邻两部分铁心柱截面积越趋近于相等，即ω越小.以ω取值为约束条件，铁心柱有效截面积最大为目标函数建立优化模型（见式5）.

V：maxS=λh12l1+2∑nm=2hmlm

s.t.H2m+lm22=r2，1-2S1S2≤ω，

1-2S1S3≤ω，

lm=5km，h1≥26，ln≥20，km∈N+.（m=1，2，…，n）（5）

先令ω取较小的一个数，算出油道位于各级之间铁心柱截面积S的最大值，将它们进行比较，最大之时即为油道的设计位置.逐渐增加ω的取值重复上面的步骤.找出ω尽量小，S尽量大的一个值作为铁心及油道的设计方案.

当ω分别等于0.05和0.1时，可以确定当ω=0.1时，可得到半圆中第2油道位置位于第2，3级之间和第5，6级之间时，为截面的最佳设计，此时其油道间截面积分别为270243.8与270439.7，油道间截面积分别为270435.4与282580.6.并可以计算出各级的宽度和厚度，可以知道各级中最大几何截面积为S=306543.5 mm2.油道之间的截面积分别为（mm2）： 62496.91， 58221.24， 58504.31.

五、模型的评价

本文对电力变压器铁心柱截面积优化设计给出的算法达到了对其优化的目的，在直径一定时，相对原来级数我们所确定的级数大大节省了能源，也将大大提高生产效率，从而减少成本.

【参考文献】

[1] 张玮，李心宏，刘立岩.变压器铁芯柱截面优化模型与设计[J].中国科技信息，2011（10）.

[2] 王晓.一种新的求解非线性规划的滤子信赖域方法[A].中国运筹学会第十届学术交流会论文集[C].2010.