数学优化模型在工业生产计划评估中的应用研究

孙源

摘 要：在数学优化模型的应用方面，主要是利用现有的条件规划出各种“最优”方案，为现代生产计划和管理工作中的经济利益评估服务。本文介绍了优化问题的几种分类，并对优化模型做了简单的分析和说明；同时重点整理了动态优化问题的多阶段转化和变分法的两种解法。并分别对它们在动态优化中各自的应用范围和具体作用做了分析。

关键词：数学建模；优化模型；多阶段转化

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.019

1 引言

求解优化问题的数学建模方法，即所谓优化模型的建立和求解。虽然它有可能使结果不一定是完全可行的或达到实际上的最大优化，因为建模，它是基于客观的规律和数据，而且还不需要过多的费用。数学优化模型是生产计划和经济管理中的一个经典模型，在对寻求最大效益方面的应用非常广泛.例如公司需要根据生产成本和市场需求，公司的经理决定了产品的价格和生产计划，使利润达到最大化；要在满足物质需求和装载条件下合理的安排所有的需求点的运送量和所运输的路线，以达到运输费用的最低化。然而简单优化模型假设提供的原材料、生产环境以及人力资源都是静态的，且需求者要求的产量一定，但假设条件在现实的经济系统中不可能都是静态的，因此本文我们在分析了简单的优化模型后，又介绍了更加符合现实经济条件的动态优化模型，并对该模型进行了分析。

随着国内外对优化模型的不断研究和改进，其应用领域已不仅仅局限于单领域范围，也将其运用在石油开采、城市规划、人力资源分配等问题的分析上.当前全球经济正处于金融危机的严重影响下，如何在当前形势下制定出比较有利的生产计划对一个企业来说是非常重要的，本文我们将主要运用优化模型来研究生产计划的制定方案，并研究结果来确定比较合理的计划方案.

2 工业生产计划制定及其求解

生产计划是企业为了生产出符合市场需求的产品或满足客户的要求，如生产时间，在什么生产车间的生产和怎样生产的总体规划。企业的生产计划是以销售计划为基础的，它是企业制定物料供应计划、设备管理计划和生产计划的主要依据。

由上面优化变量、目标函数和约束条件三要素所组成的最优化问题的数学模型可以表述为：在满足约束条件的前提下，寻求一组优化变量，使目标函数达到最优值。根据生产计划制定的特点和实际情况，所以这里只提出针对它的两种求解方法——多阶段转化和变分法，并且利用这两种方法对具体问题进行分析与解决。多阶段转化是指将动态优化的一种， 它将多阶段决策问题转化为一系列简单的优化问题。将复杂问题分解为若干个阶段，每个阶段都是一个优化问题，然后是一个决策的阶段，当所有阶段都确定了，整个阶段的决策也就确定了。一个过程的最优决策具有决策的性质，即不管初始状态和初始状态决策如何，以后的各项决策对以初始决策形成的状态作为初始状态都一定要构成最优化的决策。

根据不变嵌入原理的基本概念，对最优控制决策的基本性质进行了描述。当解决一个特定的问题，这个问题可以被嵌入到一个更容易解决类似的问题之中。应用最优化原则，一个阶段决策过程就处理为一个个单阶段决策过程的序列，因此使这个最优化问题可以采用系统迭代的方式得到解决.前两个式子分别是动态优化中的逆序解法和顺序解法基本公式。

3 数学优化模型应用案例研究

一个工厂制定一些生产计划时，需要考虑设备，市场容量和收入的三个因素，根据工厂设备的情况，生产的七种产品，价格收入和加工时间，机器维修和市场容量是众所周知的。有以下限制：每个产品有100件，其中每一件产品的存费为每一个月为0.5元；在6月底，每一个产品有50个库存，每天2个班次，每班8个小时。盈利要求为收入减去存款费，尽量安排生产的每一个产品在1到6月，以使上半年利润最大。论述了设备结构的合理性，并进行了改进。

本文案例中如果只有一种产品，运用动态规划按照常规求解，可以快速地求解最优产量安排，本案例需要同时考虑七种产品的最优产量，本文的求解思维为：首先将系统分解成单种产品的子问题，然后综合收益、工时进行优化调整以达产量总体上的最优解。求解是实质是逆序推算法，我们采用动态规划优化处理才是最科学的方法。本文优化按市场容量进行生产产品所需的工时，判断设备结构是否合理生产。由于变量和约束条件较多，本文必须要采用分解决策法。我们的步骤为：首先单独考虑产品PR，根据各月的综合收益、市场容量和存费情况，根据动态规划可获得l～6月份最优生产产量的序列值。其次我们把7个月的最优产量列合并起来，逐月检验各项工序的工时变动情况。鉴于超时生产情况，我们衡量产品收益的大小和工时多少，一方面降低收益小、耗时大的产品产量。另一方面把减少的该月产量，推迟至下一个月生产。是我们整个优化过程的重要环节。

按以上步骤推算，我们发现5、6月的整体优化恰是前面1-2步骤作出的结果向前推算到3月，这4个月的局部最优又共同达到了整体最优。对l、2月产量，用数学软件进行计算，该结果与其后3至6月的优化产量能衔接起来。于是，我们用逆序算法较轻松地得出了六个月的最优安排总盈利为93648元。分析至6月充分达到了市场需求，2月和1月也是在工时约束下的最优结果，因此得到的确是考虑每月生产成品的最优产量安排。

生产计划随着相关变量的变化而调整，具体变量因素包括：产品价格、设备结构、市场需求量和停工维修机床的日程安排。生产计划的最优安排最主要依据变量为：产品价格和市场需求变动而调整，不同情形下的最优生产计划可根据模型动态优化求解而得。结果显示生产计划3-6月区间中不受商品价格波动的影响。在设备最大利用范围内，产量根据市场的需求变动而相应的调整。考虑的变量因素较多时，我们虽然模型简化了问题的处理与求解过程，但不一定能实现最优化生产，只能在一定的前提或约束下的最优解。本文为产品的生产安排提供了科学的优化思路，探索了逆序推算求解途径，但未能给出更好的一般性通用优化思路。虽然，对设备和维修安排进行了优化改进，设备的利用率和工厂的盈利能力显著提升。本文不适于解决工序较为复杂的生产问题，没有增加更多的约束变量，对工序进行优化结构安排，有待本文后续的研究。

参考文献：

[1]杜玉琴.运筹学在经济管理中的应用[J].现代商业，2013（18）.

[2]刘雪明，宋瑜.珠三角规划纲要实施中地方政府政策创新的动因分析[J].广东行政学院学报，2012（06）.