圆内共点弦定理

2014-04-29黄正洪

数学学习与研究 2014年1期

黄正洪

圆内两弦相交，有相交弦定理，该两弦在圆周上确定的四边形与其对角线的关系，有托勒密定理.那么圆内多弦相交于一点会有什么情形产生呢？对此一问的结论是：当相交于一点的弦数为多于2的偶数时，由最基本的两弦相交的相交弦定理和托勒密定理的拓展，我们可以寻觅到一些有趣的现象，但这其间更多真正的奥秘还有待于探索和挖掘.而当相交于一点的弦数为多于1的奇数时，我们发现这里边有一个数学的汪洋大海，面对海岸边迷人的风光，叫人不舍离去，也许是造化不负有心寻觅之人，作为回报一看似极为平常实际却很珍贵的小颗粒发出了夺目的闪光，这宝贝肯定是先贤不小心失落，对这一拾得物我们可作如下描述：“过圆内一点M的（2n-1）（n=2，3，4…）条弦在圆周上所确定的多边形的两组不相邻的边的乘积相等.”以上叙述就是我们自诩的“圆内共点弦定理”.下面为该定理作出证明：

如图（一），假设（2n-1）条图（一）弦在圆O内相交于M点，我们定义这些弦的两个端点在圆周上所确定的2（2n-1）边形为A1A2A3…A2（2n-1）.

于是知这些共点弦分别为：A1A2n，A2A（2n+1），…，A2（2n-1）A（2n-1）.设MA1=a1，MA3=a2，…，MA（2i-1）=ai（i=1，2，3…）.

于是由两弦所夹的两对顶三角形分别相似的情形，在圆的360°范围内由相交弦定理，我们可得如下所有（2n-1）组等式：

A1A2/A2nA（2n+1）=a1/a（n+1）.（1）

……

A（2n-3）A（2n-2）/A（4n-4）A（4n-3）=a（n-1）/a（2n-1）.（2）

A（2n-1）A2n/A（4n-2）A1=an/a1.（3）

……

A（4n-3）A（4n-2）/A（2n-2）A（2n-1）=a（2n-1）/an.（4）

将以上（2n-1）组等式的两边分别连乘，于是就得到：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）/A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）=a1×…×a（n-1）×an×…×a（2n-1）/a（n+1）×…×a（2n-1）×a1×…×an=1.（5）

由（5）式，于是我们就有：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）=A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）.（6）

等式（6）就是“圆内共点弦定理”的表达式，它在平面几何的证题中有一定的现实意义.这里让我们来作一应用举例：

如图（二），已知 M，N是圆周上的任意可移动的两个点，P是直径AB上的动点，求证：tan∠AMP×tan∠BNP为定值.

图（二）证明设图中NP的延长线交圆O于D，MP的延长线交圆O于C，且设图中∠AMP=α，∠BNP=β.于是根据同弧上的圆周角相等我们可推知∠ABC=α，∠BAD=β.因AB为直径，进一步由直角三角形边长与三角函数的关系我们可得：

tan∠AMP=tan∠α=AC/BC.（7）

tan∠BNP=tan∠β=BD/AD.（8）

将（7）乘上（8）于是我们可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AC×BD/AD×BC.（9）

在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理我们可得：

AC×BD=AD×BC+AB×CD.（10）

将（10）代入（9）我们有：