例谈单位圆在解题中的妙用

谭炳华

【摘要】在三角函数的相关学习和推导中，我们引入了单位圆，三角函数与单位圆之间有着非常巧妙的联系，比如说任意角的三角函数值都可以通过单位圆来确定，可以是单位圆上某个点的坐标，还可以是用单位圆上的一些三角函数线来确定.单位圆在三角函数的学习和研究当中，占据着非常重要的地位.单位圆为三角函数的学习和推导带来了一些更加便利的方法，同样的，在三角函数的相关问题求解过程中，单位圆也是最常用到的一种方法.

【关键词】高中数学；三角函数；单位圆

在教学中，教师也常常强调，在解决问题时可以通过画草图的方法来帮助自己理清思路，分析已知条件，更快速地寻找到正确的解题方法.比如说几何体，我们必须要会画图.那么解三角函数相关的问题呢？我们同样可以画图，结合坐标系，用单位圆的示意来帮助理清题目意思，对解决三角函数的问题有很大的帮助.下面我将通过若干例题来谈谈在解题中如何使用单位圆.

一、求 值

求值是三角函数中最常见的一类题型，三角函数的求值一般都不是很难，因为函数不会太复杂，利用单位圆辅助求三角函数的值，可以把问题变得更加简单.

图 1例1 已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间（0，2π）上有两个不相等的实数根α，β，求cos（α+β）的值.

解析 先假设点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），我们很容易就可以发现，这两点刚好是在单位圆x2+y2=1上，根据已知条件中α，β是方程3cosθ+sinθ+a=0的两个实数根，我们也可以得出A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）这两点是在直线l：3x+y+a=0上，再由这些信息画出一个示意图，如图1所示.

结合相关已知条件，并根据图1，我们可以直接得出直线l的倾斜角2π3，图中弦AB的中垂线OC的倾斜角则刚好是π6，如果设角γ表示以边OC为终边的角，并且γ∈0，2π，那么可以得出γ=7π6.再由图1可得：γ-α=β-γ，即α+β=2γ=7π3，那么cos（α+β）=cos7π3=12.

二、证明题

在证明题中，等式或者是不等式和比较大小的证明也是常出现的题型，特别是有关三角函数的等式或不等式，在证明的过程中，同样可以巧妙地使用单位圆来辅助证明.

图 2例2 已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，其中0<α<β<γ<2π，那么，求证等式α+γ=2β.

证明 假设点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），这三个点刚好都在单位圆x2+y2=1上，如图2所示.

因为OA=OB=OC，那么点O刚好是三角形ABC的外心，又因为cosα+cosβ+cosγ=0，所以cosα+cosβ+cosγ3=0，sinα+sinβ+sinγ3=0，O点又是三角形ABC的重心，根据重心和外心这两心合一，可知三角形ABC是一个正三角形.又因为0<α<β<γ<2π，由图可知，β=α+2π3，β=γ-2π3，也就是α+γ=2β.

三、求函数值域

求函数的值域也是有关三角函数的常见题型，只要是和三角函数相关，那么单位圆的利用几率就是非常大的，学生们在平时的学习中，就要养成这样的一种解题思维习惯，对三角函数的相关问题，我们首先要考虑能否用单位圆来表示，结合图形深入分析题目，并逐步解题.

图 4例3 求y=sinxcosx+2的值域.

解析 首先，可以对该已知函数进行变形，把函数表示成一种更加容易理解的形式，如把y=sinxcosx+2变形为y=sinx-0cosx--2，那么这个函数我们就可以把它看成是以原点为圆心，在单位圆上的点cosx，sinx与点P（-2，0）连线的斜率k.由此可得，本题中所求的函数的值域，其实就是该连线的斜率k的取值范围.根据题意，先画出示意图.如图4，当直线y=k（x+2）与单位圆x2+y2=1相切时，斜率k有最大值和最小值，得-33≤k≤33，即函数y=sinxcosx+2的值域为-33，33.

从上面几道题来看，单位圆在三角函数的相关问题中运用非常多，包括不同类型的题目，除了上面几种常见的类型之外，还可以用于解决解不等式和复数的问题.将三角函数与单位圆联系起来，可以更加直观地理解好题意，并根据图像找到解决问题的便利方法.

【参考文献】

[1]郑丽敏.高中三角函数中的基本数学思想探析.语数外学习：九年级，2013（7）.

[2]张建军.高中数学三角函数的总结与研究.新课程：教师，2013（3）.

[3]陈林松.刍议高中数学三角函数学习之要.理科爱好者：教育教学版，2013（1）.