高考向量方法解题与教学研究

赵丽娜

【摘要】向量是我国高中数学新课程中的必修内容，向量具有代数的抽象与严谨和几何的直观，是解决几何问题的有力工具，集中体现了数形结合的思想.本文从向量的本质理解出发，探讨高考向量试题，以期对我国向量教学提供新的视野.

【关键词】课程改革；高考数学；向量

向量是刻画几何对象的重要工具，大多数教材定义向量是有大小有方向的量.向量既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性.从而向量是一个具有几何和代数双重身份的概念.既表现为过程操作，又表现为一种对象、结构.向量概念又是代数与几何的交汇，所以教学更应该具有思维发展的层次性和阶段性.

1.高考向量方法解题的案例分析

案例1 【2012年高考江西理科试题】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2+|PB|2|PC|2=.

分析 如图，将直角三角形放入直角坐标系中，设A（a，0），B（0，b），a，b>0，则Da2，b2，Pa4，b4，所以|PC|2=a42+b42=a216+b216，|PB|2=a42+b4-b2=a216+9b216，|PA|2=a4-a2+b42=9a216+b216，所以|PA|2+|PB|2=a216+9b216+9a216+b216=10a216+b216=10|PC|2，所以|PA|2+|PB|2|PC|2=10.

点评 向量法解题是程序化算法，是解决几何问题的主要方法.

案例2 【2012年高考天津理科试题】已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，则λ=.

解析 如图，设AB=b，AC=c，则|b|=|c|=2，b·c=2.

又 BQ=BA+AQ=-b+（1-λ）c，CP=CA+AP=-c+λb，由BQ·CP=-32，得[-b+（1-λ）c]·（-c+λb）=（λ-1）|c|2-λ|b|2+（λ-λ2+1）b·c=-32，

即4（λ-1）-4λ+2（λ-λ2+1）=-32，

整理4λ2-4λ+1=0，

即（2λ-1）2=0，解得λ=12.

点评 回路解题是向量解题特有的解题方法.

2.高中向量概念教学建议

在向量教学中，教师普遍采用课本统一的教学程序和教学策略，在传授过程中对向量做一定的简单化处理，建立单一标准的基本表征，认知环境的单一化，导致学生对向量概念的本质认识模糊.而用向量解决问题通常有三个过程：形译成向量→向量运算→向量译成形.学生表征的转化能力较弱，教师没有采取更多的教学手段（包括计数器、信息技术整合等），所以学生对向量的掌握停留在初级水平上，只建立在向量的求解步骤或计算公式的死记硬背和机械应用之上，没有建构起解决问题的思路，缺乏问题探究与体验过程，难以产生广泛、灵活的迁移.因此，应该强调认知途径的多样化、概念表征的多元化必须采取“数量化”的方法，也就是代数化几何的处理方法.例如，【2013年新课标高考数学试题】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD=.对平面向量的正交分解的理解，可以从物理背景、几何直观、坐标表示等方法来适应不同层次学生理解的需要，同样，信息技术作为学习的认知工具，可实现运动变化的可操作和可视性，并将各种元素的变化与联系同时呈现，可以更好地帮助学生在教师的辅导下进行充分自主地观察、尝试、猜想、发现、思考、分析、提问等探究式的活动，从而更好地发展数学的思维、领悟向量的本质.

【参考文献】

[1]秦德生，郭民，等.高考与大学自主招生考试数学考点大全与真题解析[M].东北师范大学出版社，2013.

[2]张景中，等.绕来绕去的向量法[M].北京：科学出版社，2010.