与双曲线相关的一类正三角形个数问题的研究

彭锋 李远游

【摘要】数学里的问题常常会有来有往，正反辉映.对于圆锥曲线的研究也是如此.将一道高考题目中给定的焦点，拓展到抛物线对称轴上的任意一点，笔者将类似问题延伸到双曲线.

【关键词】双曲线；正三角形；动态演示

2011年高考数学湖北卷文理科选择题中有如下一题： 记满足两个顶点在抛物线y2=2px（p>0）上，另外一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数为n，则（ ）.

A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3

对于这道题，文献从试题的背景、典型的解法等方面进行了详尽的解读，而且将题目中给定的焦点，拓展到抛物线对称轴上的任意一点，笔者提出了如下问题.

一、提出问题

若将题目中抛物线换成双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，将焦点换为x轴上任一点，其他条件不变，则满足条件的正三角形个数又会是什么样的情况呢？

二、探究问题

设正三角形的一个顶点E（λ，0）（λ∈R），在双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的两个顶点分别为A（x1，x2）和B（x2，y2），则x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1.由|EA|=|EB|得（x1-λ）2+y21=x2-λ2+y22，即（x1-λ）2+x21a2-1b2=x2-λ2+（x22a2-1）b2，整理得：（x1-x2）c2a2（x1+x2）-2λ=0.①

因此我们可以按如下两种情形进行探究.

1.两点关于x轴对称

当x1=x2时，则y1=-y2，即A，B两点关于x轴对称.令线段AB中点为H，则由△EAB为正三角形可得|EH|=32|EA|，即|x1-λ|=32（x1-λ）2+y21.消去y1并整理得：（a2-3b2）2x21-2λa2x1+（λ2+3b2）a2=0.②

（1）若a2-3b2=0，则方程②可化为2λx1=λ2+3b2.由于λ=0时b=0，不合题意，所以λ≠0，x1=λ2+3b22λ，即此时只有一个自身关于x轴对称的正三角形.

（2）若a2-3b2≠0，则方程②是一元二次方程.由判别式Δ1≥0得λ2≥a2-3b2.

ⅰ.当a2-3b2<0即a<3b时，Δ1≥0恒成立，即方程②恒有两个根.因此，此时总有关于x轴对称的正三角形.

ⅱ.当a2-3b2>0即a>3b时，由λ2≥a2-3b2得λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2.故当λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2时方程②有两个实根，此时有关于x轴对称的正三角形.

因此，我们可以得到如下结论：

（1）当a=3b时，只有一个关于x轴对称的正三角形（如图1所示△EAB）.

（2）当a<3b时，总有关于x轴对称的正三角形（如图2所示△EA1B1和△EA2B2）.

（3）当a>3b时，只有当λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2时，有两个关于x轴对称的正三角形（如图3所示△EA1B1和△EA2B2）.

图 1 图 2

2.两点关于x轴不对称

当x1≠x2时，则由①可知，c2a2（x1+x2）-2λ=0，即x1+x2=2λa2c2.设AB的中点为H（x0，y0），则x0=λa2c2.又由y21-y22=（x21a2-1）b2-（x22a2-1）b2，可得：（y1-y2）（y1+y2）=b2a2（x1-x2）（x1+x2）.

（1）若y1=y2，则x1=-x2，即A，B两点关于y轴对称，E点位于原点处，此时只要双曲线的一条渐近线斜率大于3即可有两个满足条件的正三角形（如图4所示的△EA′B′和△EAB）.

图 3 图 4

（2）若y1≠y2，则令m=x1-x2y1-y2，得y1+y2=2λmb2c2，故Hλa2c2，λmb2c2.从而可设直线AB的方程为x=m（y-λmb2c2）+λa2c2，代入双曲线方程消x可得：

（b2m2-a2）c4y2-2mλb2c2（b2m2-a2）y+λ2a2b2（a2-2b2m2）+λ2m4b6-a2b2c4=0.③

当Δ2≥0时，|y1-y2|=2abc2c4-λ2a2+λ2b2m2b2m2-a2，

|AB|=1+m2|y1-y2|=2ab1+m2c2·c4-λ2a2+λ2b2m2b2m2-a2，④

|EH|=（x0-λ）2+y20=|λ|b2c21+m2.⑤

又由△EAB为正三角形可得|EH|=32|AB|，即

（3a2-b2）m2=a2（3a2-b2）b2-3a2c4λ2b2.

若3a2-b2=0，则易知上式不成立.故3a2-b2≠0，于是可得

m2=a2b2-3a2c4λ2b2（3a2-b2）.⑥

将⑥代入Δ2可得Δ2>0.因为m≠0，所以m2>0，于是可得λ2>3c43a2-b2.

ⅰ.若3a2-b2>0即a>33b时，有λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，所以此时方程②有两个不同实根，即此时有两个以x轴为对称轴的正三角形.

ⅱ.若3a2-b2<0即a<33b时，λ2>3c43a2-b2恒成立，此时有两个以x轴为对称轴的正三角形.

因此，我们可得出如下结论：

（1）当a=33b时，不存在此类以x轴为对称轴的正三角形.

（2）当a>33b，且λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2时，有两个关于x轴对称的正三角形（如图5所示的△EA1B1和△EA2B2）.

（3）当a<33b时，有且仅有两个以x轴为对称轴的正三角形（如图6所示的△EAB和△EA′B′）.

图 5 图 6

三、结论

综上，我们可将所有结论归纳为如下定理：

定理：若正三角形的一个顶点E位于双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的对称轴上，其坐标为E（λ，0）（λ∈R），另两个顶点在双曲线C上，则

（1）当a<33b时，有且仅有四个满足条件的正三角形，其中两个是分别关于x轴成轴对称的正三角形，另两个是关于x轴成对称图形的正三角形.

（2）当a=33b时，有且仅有两个满足条件且关于x轴对称的正三角形.

（3）当33b3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，才有两个关于x轴对称的正三角形.

（4）当a=3b时，有且仅有一个关于x轴成对称图形的正三角形.而λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，才有两个关于x轴对称的正三角形.

（5）当a>3b时，λ≤-a2-3b2或λ≥a2-3b2时，有两个关于x轴成轴对称的正三角形，而λ>3c23a2-b2或λ<-3c23a2-b2，才有两个关于x轴对称的正三角形.

四、动态演示与分析

回顾以上探究过程，从几何直观上观察，考虑到双曲线和正三角形的双重对称性，我们可以将以上定理的结论看作是如下动态演变过程：

由于情况较多，且分析方法类似，故笔者只以33b

（1）当E（λ，0）在x轴上自原点向右移动到点（a，0）处的过程中，夹角为60°的两条相交直线EA，EB与双曲线有四个交点，从而满足条件的正三角形有两个，且在E点异侧（如图7所示的△EA1B1和△EA2B2）.当E点与双曲线右顶点重合时，两个正三角形又重合为一个（如图8所示的△EA2B2）.

图 7 图 8

（2）当E（λ，0）自点（a，0）向右移动到点3c23a2-b2，0处的过程中，夹角为60°的两条相交直线EA，EB与双曲线有四个交点，从而满足条件的正三角形从有且仅有一个变为有且仅有两个，且在E点同侧（如图2所示的△EA1B1和△EA2B2）.

图 9（3）一旦点E（λ，0）越过点3c23a2-b2，0处，保持继续向右移动，则满足条件的正三角形派生出两种类型，其中一种类型仍是由原来夹角为60°的两条相交直线EA，EB所形成的关于x轴对称的两个正三角形，如图2所示的△EA1B1和△EA2B2；而另一类则是夹角为60°的另外两条相交于E点的直线所形成的关于x轴成对称图形的两个正三角形（如图9所示的△EAB和△EA′B′）.

而这两个正三角形又可看成图2中△EA1B1脱离平衡位置从左向右对称偏离派生出的两个新的满足条件的正三角形.