二次函数在初高中教学中的渐进性问题

于海云

摘 要：从初中与高中对二次函数研究的重点、层次及要求不同，分析二次函数在初高中教学时应注意的知识讲解的渐进性。

关键词：二次函数；知识点；中考要求

形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数。二次函数在整个中学阶段都是比较重要的函数之一。初中阶段是所学三种重要函数之一。高中阶段二次函数多与其他知识点结合进行研究。例如，其与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，体现着函数、方程、不等式之间的内在联系。初高中所有与二次函数相关的问题都可以结合图象来研究，学生需要掌握“数形结合”等重要数学思想方法。而且初高中都有新知识点，在教学中如何把握不同知识点的渐进性，何时讲解到何种程度才更为合适呢？这是个值得研究的课题。

一、初中二次函数主要知识点及中考要求

1.初中二次函数的主要知识点包括解析式与图象，知识点单一且很少与其他知识点交叉。

（1）三種解析式：一般式、顶点式、两根式，由一般式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数a≠0）配方后可化为y=a（x+■）2-■，记h=-■，k=■则得到顶点式y=a（x-h）2+k抛物线的顶点为（h，k）即（-■，■）.对于和x轴有交点的二次函数，还有两根式y=a（x-x1）（x-x2）即对ax2+bx+c进行因式分解，其中x1，x2=■（求根公式），x1、x2为对应一元二次方程的实数根。现在人教版初中数学已经删去了十字相乘法，西藏的初中有的班级教了十字相乘法，有的没教。如果讲了十字相乘法，也可以用十字相乘法来分解因式得到两根式。十字相乘法虽然有应用的局限性，但是只要可以用十字相乘法分解因式的题目，相比用求根公式计算简单。（2）与二次函数的图象相关的知识点有对称轴、开口方向、顶点与x轴、y轴交点，与x轴交点又涉及对应一元二次方程根的几何解释。

2.中考要求主要有：（1）理解二次函数概念、性质，会画二次函数的图象。（2）能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。（3）会根据不同条件确定二次函数的解析式。（4）灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。

初中相对高中来说，都是二次函数一些基础知识点，知识的灵活运用要求不高，对二次函数的图象与性质之间的内在联系研究很少。

二、高中二次函数知识点及高考要求

二次函数在高考中始终是重点之一，近年来随着初中对二次函数要求的降低，高中对二次函数需要研究的内容就更多了，综合性也更强，而且相应内容并不是集中在一起出现，很多都是用到二次函数相关的知识时再介绍，比较零碎。

1.高考要求中直接提到二次函数的主要有：（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。看似很少，但是实际上二次函数基本上在每一模块都有涉及，而且图象也不再局限于初中内容。

2.主要知识点在加深对已有知识点的的剖析及应用的基础上，引入新知识。图象、性质、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、分段函数、复合函数等等，一道题目不会只用单一知识点解决。

Ⅰ.二次函数的图象和解析式：仍然和初中基本一样，不需要进行补充，主要是加强培养学生通过图象研究性质。

Ⅱ.二次函数的性质：

（1）定义域及值域：对于一般二次函数，定义域为R，值域为（■，+∞）（a>0）或者（-∞，■]（a<0）有特定条件的题目，还要根据题目条件来定，灵活多样。值域由定义域决定，又和最值问题息息相关，“必修一函数的基本性质”中也会讲到二次函数的单调性与最大（小）值，值域也有多种情况。

（2）单调性：二次函数的单调性以对称轴作为区分，当a>0时，（-∞，-■）或者（-∞，-■]是单调递减区间，[-■，+∞）或者（-■，+∞）是单调递增区间；当a<0时，单调性相反。

（3）奇偶性：二次函数的奇偶性相比单调性来说更简单，当定义域关于原点对称，且对称轴是y轴时，即-■=0时，函数是偶函数，其余情况皆不具备奇偶性。

（4）最值：最值与函数的定义域有关，情况多变，对于区间上的最值问题原则是区分对称轴与区间的相对位置（以a<0为例）。第一，如果定义域是R，函数有最小值ymin=■没有最大值。

第二，如果定义域是区间[m，n]（m、n是常数，且m

（5）二次函数区间根的分布情况：一般从判别式、区间端点函数值的符号、对称轴与区间的相对位置三方面来考虑，可以用图象求解，令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程有ax2+bx+c=0有两个不等实根x1、x2，且x1

①x1<0，x2<0，则？驻>0-■<0a·f（0）>0

②x1>0，x2>0？驻>0-■>0a·f（0）>0

③x1<0

其次，讨论两根与常数k的大小关系，与第一种情况类似，把0换成k即可。

然后讨论根在区间上的分布：

①两根都在（m，n）内，则？驻>0f（m）·f（n）>0m<-■

②两根仅有一根在（m，n）内，可分：当？驻>0时，若f（m）=0或f（n）=0可表示出另一根，再利用区间范围求解；若另一根在[m，n]外时，则f（m）·f（n）<0时。当？驻=0时，方程只有一个实数根，利用？驻=0求解；

③一根在（m，n）内，另一根在（s，t）内，m

则f（m）·f（n）<0f（s）·f（t）<0

④两根分别在（m，n）两侧，即x1n，则f（m）·f（n）>0。

（6）二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系（以a>0为例）：

①？驻<0？圳f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴无交点？圳ax2+bx+c=0无实根？圳ax2+bx+c>0的解集为R，ax2+bx+c<0的解集为？准；

② ？驻=0？圳f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴相切？圳ax2+bx+c=0有两个相等的实根x1=x2？圳fax2+bx+c>0的解集为■，ax2+bx+c<0的解集为？准；

③？驻>0？圳f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点？圳ax2+bx+c=0有两个不等的实根x10的解集为（-∞，x1）∪（x2，+∞），ax2+bx+c<0的解集为（x1，x2）。

有些知识点可以在相应章节出现时，对相应分类全面研究。也可以只介绍出现的某种情况，在高三复习时系统总结。具体处理方式还要根据班级学生基础及接受力安排研究的时间及难度，总之，二次函数完全可以单列为一个独立的章节，就如北师大版高中数学教材。

虽然高中数学人教A版没有对二次函数单列章节研究，但是相应知识分散到各个与之相关的章节。例如，分段函数经常会有二次函数形式，幂函数y=x2也是二次函数，等差数列的求和公式Sn=na1+■d是关于n的二次函数，三角函数里面有很多公式是二次形式，很多問题最终也会转化为二次函数知识求解等。虽然这样保持了二次函数在高中阶段的贯穿性，但对学生学习实际上造成了不方便，很多知识都是到用时才分析研究，导致学生认为二次函数的知识“东一榔头，西一棒子”，不成系统，整理起来也有难度。

所以，对二次函数的教学，教师必须做到心中有数，层层递进，如，抽丝剥茧，把对二次函数的研究一步步深入下去，不能急躁，要有抖包袱的劲头，才能更好地引导学生对二次函数进行深入研究。

（作者单位 西藏拉萨中学数学组）

编辑 温雪莲