高中生解数学题过程中的不当的直觉思维分析

陈勇

【摘要】根据高中生解数学题常有的三种失败境界，从直觉思维的角度分析了其解题过程中常犯的几类错误，分别得出了其教学应对措施.

【关键词】高中数学；错误的；直觉思维；措施

【中图分类号】G633【文献标识码】A

我们都知道，在数学的解题过程中，知识、方法、思想三者都很重要.而我们数学课堂教学，其核心就是培养学生的数学思想，提高高中生数学解题能力.因此，培养学生数学解题能力的研究成为国内外数学教育工作者研究的活跃话题之一.在文献＼[1＼]-＼[6＼]中，贾广利等就数学解题过程中的整体思想、变式训练、习题教学、逆向思维、应用问题、分层教学等做了研究，研究得细致，实用价值很高.本文将从高中生解题过程中使用不正确的数学直觉思维方面进行分析研究.

很多时候我们发现，当问到一些学生为什么没有做对某个数学题时，他们通常有三种回答：第一种，没感觉看不懂题或者看错了题，所以不会做；第二种，我有点感觉，好像看懂了题，我会做，但我还是没算出来；第三种，我感觉极好，我好不容易做了出来，但最后结果还是算错了.之所以出现以上这三种回答，原因是多方面的，但回答中都提到一个很重要的词语就是“感觉”，即数学感，数学感觉错误或者根本没有数学感是导致他们解不出或解错数学题的直接原因之一.特别是第二、三种错误，很可能是用了不当的数学感.这里所说的数学感就是一种数学直觉思维.直觉思维是一种直接的、突然的和创造性认识事物本质的特殊心理活动.纵观高中数学教学的全过程，学生在解题的过程中出现不当的直觉思维即数学感错误，可能出现在以下几个方面.

一、概念的滥用或掌握不牢

概念是对数学对象的高度抽象与概括，它是事物最本质特征的反映，每一个概念都有其定义时的背景，若对其背景视而不见，就会产生一种不可小视的错觉.

我们先来看一个例子：

例1复数z满足（3-4i）z=4+3i，则z的虚部为（ ）.

A.4iB.4

C.45iD.45

学生一看到这个题，会出现两种错误，第一种是概念不清，不知道4+3i是什么意思，自然凭感觉猜就可能选B了.第二种就是正确计算出z=35+45i，但记不清复数的虚部是否带i，可能直接就选出C了.在高中复数这个部分内容简单，在教学和高三的复习中我们往往会忽视这一点，而高考题通常有这样一个选填题，学生解题也认为简单，会一晃而过，于是就出现了类似的直觉错误.

在教学过程中，当我们遇到一个基本概念时，我们应该让学生思考，我们抓住概念的本质了吗？概念的产生有无特殊背景和附加条件呢？如果想好这几个问题，那么犯这个直觉思维错误的可能性就不大了.

而且，在数学的学习过程中，我们必须重视数学基本概念、基本公式、基本法则等的学习与理解，重点要在运用上下功夫.无论任何题型，都是从数学的基本知识中衍生出来的.因此，只有掌握了扎实的基础知识，才能“以不变应万变”，在解题时才有利于锻炼学生的独立思考能力，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，减少犯直觉错误的几率.

二、定理的应用上，类比推理的误导

例2在某判断真假命题的选择题中，有这么一个选项：设z1，z2是复数，若z1=z2，则有z21=z22.

很多学生一看就认为是真命题，因为他们知道在复平面上复数可以和平面向量对应，而且在向量的运算中，我们有：a2=a2.但复数中，z2=z2成立吗？复数的模和复数的平方有什么区别呢？复数和向量有什么本质的区别？本题正确答案是假命题，事实上，z是一个实数，z2是一个复数，它很可能是一个虚数，潜在本质上有很大的区别，让学生弄清这一点，这类的直觉错误就不会发生了.

定理、公式、性质等是对数学对象本质属性的反映，它是快速、准确解题的基础，但每一个公式、定理等均有其成立的特定条件和背景，如果仅依靠形式上的相似就将结论进行类比迁移，而缺少对公式、定理的理解，就容易形成错觉.因此，教学过程中，在遇到有联系的类似问题时，不仅要让学生弄清楚它们的共同点，更重要的是要让学生弄清它们的不同点和本质上的差别，特别是在高三的复习中，在学生似乎对每一个知识点都很熟悉的前提下，不搞清这一点，出现这类错误直觉就很正常了.

三、需要分类讨论的问题中，解数考虑不清

这类包括漏解和多解两种情况：

例3不等式（a-2）x2+（a-2）x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.

学生一看到这个问题，就直觉感到这是一个二次不等式的恒成立问题，等式左边的二次函数值小于零满足开口向下且与x轴无交点，于是很自然得出：

a-2<0Δ=（a-2）2-4（a-2）（-4）<0-14

这样做对吗？不等式的左边一定是一个二次函数吗？当a=2时，不等式变为-4<2也是恒成立的.这个题的正确答案是-14

再来看一个多解的例子：

例4已知凸n边形的各内角成等差数列，公差为5°，且最小内角为120°，则n=（）.

A.8B.9或16

C.16D.9

本题一看就是一个基础题，由n边形的内角各公式和等差数列的求和公式，有

（n-2）180°=120°·n+n（n-1）2·5°.

学生很容易解得n=9或n=16，就直觉地选出了B.本题的解中两种情况是否都成立呢？事实上，当n=16时，最大内角为195°，这与凸n边形矛盾，故选D.

一解还是两解甚至是多解，不同的选择反映了对数学对象本质了解的程度不同，这就造成了解答中出现增解或漏解的情况.而出现这种情况，往往是由于审题不严密造成的.教学过程中，我们既要让学生认真审题考虑到多种情况，又要让学生分析每一种情况解出来的结果是否都符合题意，多看看题目是否还有其他的限制条件尤为重要.