解析几何中面积最值问题的常见解题策略

刘彬

解析几何一直是高考考查的热点和难点问题，综合程度高，强调“几何图形代数化与代数结果几何化”，而面积最值问题的考查与研究是解析几何中一个重要方向，在平时的教学过程中应引起足够的重视，现笔者试从例题入手介绍常见的几种解题策略，以期抛砖引玉.

策略一：借助于基本不等式求解面积最值问题

例1（2011年卓越联盟自主招生13）已知椭圆的两个焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆与直线y=x-3相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

析（1）略椭圆方程为x22+y2=1.

（2）若PQ斜率不存在（或为0）时，则S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2=22×21-122=2.

若PQ斜率存在时，设为k（k≠0），则MN为-1k.

所以直线PQ方程为y=kx+k.设PQ与椭圆交点坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立方程x22+y2=1，y=kx+k.化简得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0.

则x1+x2=-4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.

所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=（1+k2）[16k4-4（2k2-1）（2k2+1）]2k2+1=22k2+12k2+1.

同理可得|MN|=22k2+12+k2.

所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2=4（k2+1）2（2+k2）（2k2+1）=4k4+2k2+12k4+5k2+2=412-12k22k4+5k2+2

=412-k24k4+10k2+4=412-14k2+41k2+10.

因为4k2+41k2+10≥24k2·4k2+10=18（当且仅当k2=1时取等号）.

所以，14k2+41k2+10∈0，118，所以412-14k2+41k2+10∈169，2.

综上所述，S四边形PMQN的最小值为169，最大值为2.

评注本题作为卓越联盟自主招生的13题，考查学生的数学综合能力，解决本题最值问题时通过选取k为变量，变量选取，建立目标函数利用基本不等式求最值.

例2已知抛物线y2=4x的顶点O，点A（5，0），倾斜角为π4的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，求使△AMN面积最大的直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

析对于△AMN的面积，可利用线段|MN|的长及点A到直线l的距离d来表示，而表达式是关于b的函数，再考虑求函数的最值即可.

设直线l的方程是y=x+b.

∵直线与线段OA相交，∴-5

由方程组y=x+by2=4x消去y得x2+（2b-4）x+b2=0.

∵Δ=（2b-4）2-4b2=16（1-b）>0，

∴直线l与抛物线必有两个交点，设为M（x1，y1），N（x2，y2）.

则由弦长公式可得