一堂导数二轮复习课引发的思考

陈潜勇

【摘要】高考二轮复习是能力提高的重要阶段，函数导数向来在浙江省的高考题中占据比较重要的位置.在有些导数题中，往往涉及有关如何构造函数的问题，隐蔽性强，难度大.这需要教师在二轮复习中引导学生如何去破解思维的障碍，做好分析、归纳、总结等一系列的问题，使得学生解题有法可依、有章可循.

【关键词】函数；导数；函数构造

在四五月份的高考二轮复习中，发现很多利用导数研究函数的性质，解决与方程、不等式的有关综合性问题.在前面已经复习了有关导数中的恒成立问题、存在性问题以及简单的不等式证明问题，学生的解题能力已经有明显提升.为了更好地提升学生的思维能力，提高导数题的综合解题能力以及对知识探求的兴趣，特安排了这样的一堂有关导数条件下函数构造问题的二轮复习课.故这是一篇由高考二轮复习课之后整理的论文，难免认识较浅，分析不到位，不足之处请读者谅解.

函数构造的灵感来自哪里？在高中数学里并没有详细介绍有关各种题的解法，也没有经过系统的训练，它是分散在解题过程中的，所以教师在二轮复习过程中的引导很重要.直接给出函数很容易，但要求学生学会如何去想到要构造这样的一个函数确实很难的.问题的本质是如何观察分析这个导数式与函数的哪些性质有关联，哪些因素会促发我们的灵感呢？本文从导数的运算法则、初等基本函数的结构形式、基本初等函数的结构变换以及综合性问题等四方面来详细分析此类问题.

一、和差积商导数运算公式构造新函数

这类问题是在导数关系下根据导数式的整体结构形式特征，利用导数的四则混合运算法则构造函数，然后利用函数的基本性质特别是单调性来研究两个数的大小、不等式的解或不等式的证明问题.

例1设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）>0且g（3）=0，则不等式f（x）·g（x）<0的解集是（）.

A.（-3，0）∪（3，+∞）B.（-3，0）∪（0，3）

C.（-∞，-3）∪（3，+∞）D.（-∞，-3）∪（0，3）

分析此类题无论在一轮复习还是二轮复习中较为常见，基本功扎实的学生应该容易发现这个积的导数的结构形式.直接构造函数F（x）=f（x）·g（x），再结合函数的奇偶性和单调性，结合图像可以得到C为正确选项.

例2（2014名校创新冲刺卷一）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且xf′（x）-f（x）>0在（0，+∞）内恒成立.

（1）若f（x）=lnx+ax2，求a的取值范围；

（2）设x0是f（x）的零点，m，n∈（0，x0），求证：f（m+n）f（m）+f（n）<1.

分析第（1）问直接代入利用变量分离变为a>lnx-1x2max就可以解决，得到a>12e3.

第（2）问，看此题的这个导数不等式xf′（x）-f（x）>0，直接是较难得到的.但看到这个差式，可以联系到差的导数式，但是这个差的函数式又构造不出来，不过有关差的还有一个公式就是商的导数式里有涉及，故联系到商的导数式，构造函数F（x）=f（x）x，求导F′（x）=xf′（x）-f（x）x2>0，很妙，出现这个结构式了，马上会令人兴奋.其实无非是几个公式在起作用，有加号的看加乘，有减号的看减除.接下去可以得到F（x）=f（x）x在（0，+∞）上单调递增且F（x0）=f（x0）x0=0，x∈（0，x0），F（x）<0，x∈（x0，+∞），F（x）>0，又m

f（m+n）m+n>f（m）m且f（m+n）m+n>f（n）n，化简即可得到结论.