概念的发展与迷思分数

曹雅玲

【摘要】分数一词来自拉丁文的“ frangere”，意义是指分开，通常用来描述一个被分开的全体之部分.分数的发明最初即是为了因应各种测量上的需要，而“分数”的概念也与我们的生活关系密切，日常生活中我们常有分东西的经验，例如把一个蛋糕分成几块，或是把一些铅笔平分给几个小朋友等，在分的过程中，往往会考虑到要如何分？可以分得多少？或是在测量物体的长度时会遭遇到所使用的单位度量并不能刚好量完的情形，诸如此类的问题都跟分数的概念有密切的关系.“分数”就成了数学教材中极为重要的一员.

【关键词】分数概念；小学数学；教学方法

目前的小学数学中，分数概念的学习是课程的重点之一，主要原因为：（1）儿童具备基本的分数概念后，才能进一步发展有理数概念；（2）儿童在比较两个分数的次序关系时，须考虑分数的等价关系，借由分数的学习，儿童能增进等价的观念；（3）分数概念的了解有助于学生处理有关分数的四则运算问题；（4）分数和许多重要的数学概念（如比、比例、机率、小数、百分率等）有密切的关联性，而这些概念是儿童学习基础科学知识所必需.由此可见分数在数学中的重要性.学童在学习分数时若发生困难，将会影响未来数学的学习.因此，教师若能事先了解分数概念之发展，诊断出学童是否有正确之分数概念，以为教学上之参考.

皮亚杰等人（ 1960）使用连续量的具体物研究4 ～7岁儿童对面积的分割行为，以探讨儿童如何建构部分与整体的关系，来形成分数的概念.作者归纳 Ning （1992）、皮亚杰（1960）等人的观点，认为儿童在了解分数运算之前必须具有下列4个子概念，分别叙述如下：

（一）对单位量的认知

处理分数问题最重要的一个概念就是单位量的指认，例如：学生在回答一盒铅笔有12 支，其中的一支是几盒的问题时，能够回答十二分之一盒；或者是一盒铅笔有12 支时，学生能够将1[]6盒视为12支铅笔的六等份中的 一份，就是2支铅笔；2[]6盒视为12支铅笔的六等份中的两份，就是4 支.学生在解题时，能够将给定的单位量内容视为一支整体，在分辨所给定的单位（盒）和单位分量（支）之间的关系后，再予以分割.

（二）应分完而且没有余数的等分割概念

处理完分数问题另一个重要的概念就是必须有一个可以除尽的全体才有分数的思考，学生开始接触正式的分数课程时，大多从分东西的经验出发，然后才以圆饼图或方形图介绍分数，因此学生认为几分之几就是要做“分”的动作，而且分完没有剩余.例如：一箱饮料有24 罐时，1[]4箱就是6 罐，2[]4箱是12 罐.因为6罐是一份，1 箱刚好是4 等份.

（三）具有部分与整体间的关系

处理分数问题重要的概念必须了解分数的意义，避免忽略了分数是要对整体进行等分割的活动.分数是具有部分与整体间的关系，学生能视分数 a/b 为一个数，且a 为整数b 的部分（连续量情境）或a为集合b 的子集（离散量情境）.例如：一箱饮料有24 罐时，1[]4箱是6 罐，因为6 罐为1 份，1 箱刚好是4 份，1[]4箱是4 份当中的其中 1 份.因此，儿童具有等比例运思与等值分数的概念.

（四）单位分量（数）的确认

处理分数问题重要的概念也包含单位分量（数）的确认.当儿童操作了再细分的部分概念或子分割时，他们了解到此细分的部分是全体的一部分，同时这一个细分的部分本身也是一个可以再细分的全体，因为分数是从全体而来，其全体始终不变.

但是从过去的研究显示，分数是学生学习数学的一个绊脚石，其本身所具备的多重意义，经常是造成学生学习分数困难的重要原因之一.对学生而言，分数是一个非常抽象的概念，不容易与日常生活经验相连接，因为它所涉及的是一种基准化的能力，与往后的数学学习有极大相关，因此教师如何教，才能培养学生基准化的能力，进而有效地发展分数概念，获得分数数感，并且把分数应用到问题的情境上是教师们需要努力的目标.在小学阶段的数学大都是分析具体物的性质以形成概念，教师不应为了赶进度而省略了一些具体的操作过程，或将公式口诀视为教学法宝，因而错过了一些生活可用的宝贵题材，因为数学源于日常生活的需要，能与生活相关联的知识才是活知识，也唯有与儿童生活相呼应的学习内容，才会引起学生的兴趣.就小学高年级的数学而言，分数的学习是他们的一个痛点，尤其是进入分数乘除法中，更是晕头转向，分析其教材内容，多数涉及了两量间的关系，再加上分数所赋予它的意义有所不同，导致学生有如此大的挫折感，如何帮助学生确实让研究者有些困扰.作者基于多年来的教学与研究经验发现，教学内容一旦涉及分数概念的文字题时，学生的表现总是不如人意，尤其是在分数乘除法运算上更是屡屡受挫，归究其原因发现，学生无法正确地掌握两量关系为分数倍的情境经验，所以作者认为学生是否拥有分数基准化能力常是影响分数乘除法运算的重要因素.根据学者的研究显示，学生之所以分数学习及运算上有很大困难，其原因是学生对分数概念难以理解，分数符号与分数意义疏离，只会机械式地使用分数算则或套用口诀来解题，但却不了解算则的意义.本文将研究者多年来在课室教学中的经验及综合各学者的相关研究文献，归纳学生在分数四则运算中的一些迷思概念，分述如下：

（1）仅停留在“起始单位分数”（initial unit fraction ）的阶段，并未到达可复制的“单位分数阶段”.不了解异分母加法需将分母通分的概念及技巧，例如将1[]2+1[]3，学生直接将分母加分母、分子加分子，就像在处理整数加法时一般，完全不去注意分数的表示方式，像这样的学生，并不了解不同分母的分数表示其分割数不相同，因此，进行两个不同分母分数的合成分解时，必须先找出这两个分数的共测单位（共同的测量单位）.

（2）在无完整分数概念下，以背诵“口诀”来进行解题.总结教学的经验发现一个共通的现象是学生在计算方面的技巧非常熟练，但却不能理解分数的真正意义.最明显的例子就是，计算1[]A除以1[]B时，为什么要将1[]B倒过来再与1[]A相乘呢？大部分的教师都会请学生记住这个运算方式，很少人会在课堂上探究其中的原因，也或许是教师本身的分数知识欠佳所造成.分数的意义会随其应用的情境不同而有不同的解释，它的形态多变又与其他数学知识有密切的关联，使得无论是学生或是身为教学者的成人都容易产生多种的迷思概念.分数是一个非常抽象的概念，其学习的过程没有整数概念来得长，所以在学生无法快速吸收的状况下，背诵“口诀”.

（3）数与量的概念无法区别.分数的数与量概念出现混淆，如：一瓶 5公升的果汁，喝掉了整瓶果汁的2[]3，还剩下多少公升？当学生的解题为 5-2[]3时，学生无法理解2[]3在此是一个运算子，而将它视为是一个量.

（4）异分母的合成分解在通分上有困难.学生在对分数的意义不了解的情况下，胡乱使用分数算则，不知使用等值分数、通分等基本概念，因此在分数转换成假分数或者是在处理分数计算的过程中，便容易导致错误的发生，影响了分数的学习；当学生在等值分数及因数倍数的概念发展不完全时，一旦面对分数的合成与分解时，必定会慌了手脚，因为异分母的合成分解是定位在寻找共测单位的基础上，而共测单位的分母必为被加（减）数及加（减）数分母公倍数.

（5）基准量与比较量相混淆.学生对两量之间关系的比较所易犯的迷思是，先出现的数先写，例如：小明喝了112杯的鲜奶，小英喝了214杯的鲜奶，请问小英喝的鲜奶是小明的几倍？学生在解此题时常常忽略了基准量是小明，而直接将先出现的数112 写在算式的前项，后提到的数214 则写在后项.

（6）离散量与单位量相混淆.当单位分数所指内容物为离散量时，如果内容物个数大于分母时，学生较为可能发生解题错误，尤其是当题目中同时包含两个单位时，学生分数运算便明显地受到干扰.

（7）大数除以小数.高年级学生分数概念的发展时，有部分学生在内容物小于整数量时，常常依旧以大数除以小数来解题，他们并不知道以真分数来表示相对比较的结果.例如：甲的 7 倍是3，乙的5倍是2，请问甲乙两数共多少？学生很容易以7÷ 3来求得甲数，以5÷2 来求得乙数.

Behr等人（1983）则设计了一个有理数教学的概念架构，依此架构先教等分及部分整体概念，再教比、运算子、商、测量，最后才教等价分数、乘法、解题和加法 （如图）.

有理数教学的概念架构 （Behr al.，1983）

此外，Kierren （1988）提供如何进行有效的有理数知识概念的建构，由具体事实到较抽象概念的阶层，建构了一个有理数知识的概念结构，此知识系统可以分成下列几个层次：（1）具体事实——生活中可以观察的一些现象，例如将苹果切成两份、把10颗糖果平分给两人等等是具体事实.局部概念——由具体事实所抽象出来的基层概念，如公平、快慢等等为局部概念.（2）有理数的第一阶层的概念——等分、等值、单位.这三个建构使得儿童能解决与分数有关的问题.（3）有理数的第二阶层概念——测量、商、比、和运算子.（4）纯量与函数的关系.（5）乘法结构及形式化的乘法.（6）形式化的加法与形式化的乘法.（7）有理数体——完整的形式化系统，抽象代数所探讨的领域.目前小学课程中，先由等分来引入分数概念，学生理解的阶层约到第三层.对于这样的概念结构，教师需有深入的了解才能依学生的认知发展适当地进行教学.

在教学上，课程的设计必须符合学生的认知发展，课程的深浅必须依照概念发展的顺序进行编排，让学生由最基本最易学习的概念开始学习.依据Lesh，Post & Behr（1987）的表征结构，老师在教学时，应强调实物表征、具体操作物表征、图形表征、口语表征、符号表征之间的联结，因为学生在学习同分母真分数的加减法时，已是一、二年级或三年级了，此时学生已渐渐脱离需要实物与具体操作物的时期，因此老师在教学时可以同时加强图形表征、口语表征、符号表征之间的联结.同时也应让学生了解，当老师在评量时，可以运用他在课堂上所熟悉的图形表征或者把口语表征文字化来说明他所了解的概念，才不会出现上述大部分学生只写算式，不知道如何表达他的概念性知识.教师的任务在于帮助学生能有意义及有效的学习，一般认为分析学生的迷思概念可以了解学生的内在概念，能使教师更清晰地了解学生的心理运作，对于教学策略的修正、补救教学的实施有相当大的帮助.因此，面对学生分数学习成效不佳的问题，教师应对此作深入的了解，才能针对学生在分数学习上可能遭遇的困难加以防范，并对其所产生的错误加以诊断.此外，教师需努力加强自身的分数知识和分数教学知识，然后设计适当的教学方案，并注意在设计问题时，应包含由各个类型出发的题目，以提升学生的学习成效.以抽象的分数概念教学来说，与其在黑板上讲得口沫横飞，倒不如让学生多一点“玩”的经验，以量杯、直尺、拼板，甚至绳子或棍子，让学生“玩”出比例的概念，从中体会分数运算的法则，像这样从学生的先备经验及生活经验出发，目的是要引出学生对数学的感觉，有了这种参与、讨论、对话及实作的感觉后，数学兴趣自然提升，然后再来讲解分数运算及实际例题等，可能会有比较好的学习效果.

总而言之，学生在学习分数运算的过程中障碍重重，教师有必要针对其运算上的迷思点追溯到问题的源头，采取有效的教学来帮助学生.在分数加减运算上，学生需先能理解等值分数及通分的意义，并能寻求共测单位，才能进一步解决异分母的合成分解问题；在分数乘除运算上，亦应先由单位量转换及等分割的观点来引导学生成功解题，必要时再引入成人的分数运算法则，让学生能知其所以然.