线性代数考研解题技巧

阎家斌

【摘要】线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课，也是各专业考研的一门重要课程.文章结合作者多年教学经验和对考研线性代数的研究以及学生学习线性代数课程的感受，着重介绍了线性代数考研的一些注意事项和考研试题的特点及解题技巧，也给出了线性代数考研复习的建议.

【关键词】线性代数；考研；试题特点；解题技巧

【中图分类号】G424.6【文献标识码】A

线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课，也是各专业考研的一门重要课程.线性代数的内容不多，但基本概念和性质较多，内容比较抽象，各知识点之间的联系也比较多.在复习的时候，首先应该由浅入深，先把基础打好了，然后再考虑进一步提高.第一遍复习要注意在做题的过程中多做归纳、多做总结，使我们所学的知识不是孤立的，能形成一个知识链，这一点很重要.然后适当做一点难题，太刁钻古怪的就不要做了，现在的试题很少有刁钻古怪的，一般要考的就是最基本的或者是将很基本的内容综合起来，但是这类题不属于刁钻古怪的，其实这类题只要多做一点多看一点，就能提高解题的方法和技巧.

考研数学按专业不同分为三个类别，即数一、数二和数三，但从线性代数角度来看这三个类别几乎是没有区别的，近年来，这三个类别用相同题的趋势越来越明显.复习中记住这样一句话：理解基本概念，掌握解题方法，突破典型例题，注重总结归纳.总的来讲，要想数学好，要想考高分应该是基础加题型，基础是第一位的，题型是第二位的.如果我们有基础，又能够掌握住题型的话，那就能够如虎添翼了.下面我们就线性代数考研试题的特点及解题技巧来分类讨论.

一、重视基本概念、基本性质、基本方法的理解和掌握

基本概念、基本性质和基本方法一直是考研数学的重点，线性代数更是如此.从多年的阅卷情况和经验看，有些考生对基本概念掌握不够牢固，理解不够透彻，造成许多不应该的失分现象.这类题往往出在填空题或选择题中，例如，2013年数一、数二和数三共用的一个选择题为：

矩阵A=1a1aba1a1与B=2000b0000相似的充分必要条件是（）.

A.a=0，b=2B.a=0，b为任意常数

C.a=2，b=0D.a=2，b为任意常数

我们知道，两个矩阵相似则它们有相同的特征值，但是，有相同特征值的两个矩阵不一定相似.而实对称矩阵必与对角矩阵相似.结合到一起可知，两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同.由于这里矩阵B是对角矩阵，且矩阵B的特征值为2，b，0，那么，实对称矩阵A与B相似的充分必要条件是A的特征值也是2，b，0.

由于矩阵A有两行相同，显然有|A|=0，即0是A的特征值.

令|2E-A|=0，易得a=0（因为|2E-A|=-4a），且a=0时总有|bE-A|=0，即只要a=0，矩阵A的特征值为2，b，0.故应选B.

这里注意，如果矩阵A不是实对称矩阵，矩阵B=200020000，则矩阵A与B相似的充分必要条件是：|A|=0且R（2E-A）=1.这是因为n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量.

二、加强综合能力的训练，培养分析问题和解决问题的能力

从近十年特别是近两年的研究生入学考试试题看，加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核，很多题目都出现多个知识点的综合，因此，要加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握.例如，2013年数一、数二和数三共用的一个填空题为：

设A=（aij）是3阶非零矩阵，|A|是A的行列式，Aij是A的代数余子式，若aij+Aij=0 （i，j=1，2，3），则|A|=.

由已知，矩阵A每个元素的代数余子式都是该元素的相反数.由行列式按行展开定理知，|A|等于矩阵A任何一行元素平方和的相反数，进一步等于矩阵A所有元素平方和的相反数除3，由于A是非零矩阵，只能知道|A|小于零.

从行列式角度我们已经没有可以用的手段，怎么办？我们需要与条件（代数余子式）有关的其他信息.当然，我们要想到一个重要的矩阵——伴随矩阵.由伴随矩阵的定义不难得到，此题中矩阵A满足：A*=-AT.（注意A*=-ATAij=-aij，i，j=1，2，3）

再利用伴随矩阵的重要性质A*A=|A|E得到-ATA=|A|E，两边取行列式，并利用|AT|=|A|可得-|A|2=|A|3，于是|A|=-1.

此题把行列式及其性质、伴随矩阵及其性质和矩阵行列式的运算性质巧妙地综合到一起，是线性代数考研的典型题目，1992年考题完全类似，只是条件为Aij=aij.

2013年数一、数二和数三共用的另一个选择题为：

设A，B，C都是n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）.

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

这里条件是AB=C，且B可逆，容易得到矩阵A与C等价.但我们知道，两个矩阵的行（或列）向量组等价则这两个矩阵等价，但反之并不成立.那么如何将矩阵和向量组联系到一起呢？我们可以利用分块法，由于矩阵B是在后面乘矩阵A，我们只要将矩阵A和C按列分块，然后由AB=C可得C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，再利用B可逆得A=CB-1，于是A的列向量组可以由C的列向量组线性表示，即A与C的列向量组等价.

三、注重分析一些重要概念和方法之间的联系和区别

线性代数的内容不多，但基本概念和性质较多，它们之间的联系也比较多，要注意通过现象看到问题的本质，把一般问题转换成熟悉的线性代数问题.例如，2013年数一、数二和数三共用的一道计算题为：

设A=1a10，B=011b，当a，b为何值时，存在矩阵C，使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

看上去此题就是解矩阵方程的问题，但它和一般解矩阵方程问题是不同的.首先与未知矩阵C乘积的矩阵A不一定可逆，另外即使A可逆，由于矩阵乘法不满足交换律，我们也无法把C用A，B来表示.另一方面，题中既然问何时存在矩阵C，并求所有矩阵C，说明这样的矩阵C不一定存在，存在时也不唯一.

分析到此，我们应该有了解决问题的方法，首先由已知不难看到矩阵C是一个二阶方阵，只要令矩阵C的四个元素为四个变量代入AC-CA=B就得到关于这四个变量的含有常数a，b的线性方程组，问题转化为讨论四元线性方程组何时有解并求通解的问题.这是线性代数非常熟悉的问题.但要知道，考研题绝对不会直接让你讨论四元线性方程组何时有解并求通解.

四、充分利用所学知识，力求把问题简化

如果遇到运算特别复杂的情况，应该想一想有没有其他方法加以简化，考研中一般不会出现运算特别复杂的问题.例如，2013年数一、数二和数三共用的另一道计算题为：

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记α=（a1，a2，a3）T，β=（b1，b2，b3）T.（1）证明二次型 f 对应的矩阵为2ααT+ββT；（2）若α，β正交，且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为2y21+y22.

此题大多数考生都是将二次型中两个平方项展开，合并以后写出二次型的矩阵，再将2ααT+ββT算出结果进行比较，当然可以得到结果，但是十分复杂.很多考生都把计算过程写到其他题的答题纸上了，给判卷工作带来很多麻烦（现在是利用电脑判卷）.遇到这种情况，首先想到一定有其他简便方法.实际上（1）题只需证明f=xT（2ααT+ββT）x，其中x=（x1，x2，x3）T.而由a1x1+a2x2+a3x3=αTx=xTα，b1x1+b2x2+b3x3=βTx=xTβ，直接得到f（x1，x2，x3）=2xTααTx+xTββTx=xT（2ααT+ββT）x，这就证明了（1）.

（2）题是二次型的重要内容，由于二次型在正交变换下变成标准形，标准形的系数一定是二次型矩阵的所有特征值，所以只需证明矩阵2ααT+ββT的特征值为2，1，0.

由于α，β正交，且均为单位向量，所以αTβ=βTα=0，αTα=βTβ=1，于是有：

（2ααT+ββT）α=2α，（2ααT+ββT）β=β.

即：1和2都是矩阵2ααT+ββT的特征值.又由于

R（2ααT+ββT）≤R（2ααT）+R（ββT）≤R（α）+R（β）=2，

所以，0是矩阵2ααT+ββT的特征值.这就证明了题（2）的结论.

我们这里以2013年考研线性代数试题进行了分析，实际上考研线性代数都具有这样的规律，只要学习中从这几个方面认真总结，一定会提高线性代数的解题能力，在考试中取得好成绩.