圆外角三条性质的高效教学法

谢慧颖

1.圆外角的概念

在讲解这样一个概念时，传统教学观念中，是比较沉闷的，教师生怕学生听不明白，理解不了.因此本文中，教师实施一种创新的教学法，高效课堂师生活动式教学法.

首先，笔者列出3个图，图1-1，图1-2，图1-3.

图1-1图1-2图1-3

从图1-1，图1-2和图1-3可以看到三个角，分别是∠APB，∠CPD和∠QPS.

由此，我们可以很直观地得出来圆外角的概念，通过提问，让学生举手，自己来回答圆外角的定义.图1-1、图1-2和图1-3给出了圆外角的三种情况，即：圆的两切线或一切线、一割线或两割线，相交圆外所形成的角.

2.圆外角的性质

正如第一节所讲，在教师的引路下，学生自我主动地求知，明白了圆外角的含义.那么圆外角有什么性质呢？

教师先给出一个诠释，圆外角的弧度=所夹两弧度数差的一半，为了更形象地直观体现，我们依旧列图如下（图2-1、图2-2、图2-3）：

图2-1图2-2图2-3

在上面图2-1、图2-2和图2-3中，我们很清楚地看到了两个不同颜色的弧度（黄色和蓝色），其弧度差的一半就是圆外角的弧度值.

但是这样说，学生还是不能理解，为什么就是大弧减去小弧的一半呢？

带着这样的问题，教师绘制了第三个图.（图2-4）

如图2-4所示（两条切线产生的情况），笔者把A点、B点连接作出一条辅助衔接线AB，把PA线延伸成为一个长切线.这样就得出2个弦切角∠1，对应弧为AFB和∠ABP，对应弧为AB.

由于外切角等于所对弧度的一半，因此∠1=1[]2AFB，∠ABP=1[]2AB.

由于外切角等于两内角之和，于是可以得出：

∠P=∠1-∠ABP=1[]2AFB-1[]2AB=1[]2（AFB-AB）.

因此，得出圆外角两条切线情况下的第一个性质：∠APB=1[]2（AFB-AB）.

图2-4图2-5图2-6

接着，我们继续看图2-5，为了更全面地得出圆外角的性质，教师列出了图2-5（一条割线和一条切线产生的情况），图2-5中C点和D点进行了衔接作一条辅助线CD，PC线进行了延伸成为了一个长切线.这样我们得出来了两个角，一个弦切角∠2，对应弧CD和一个圆周角∠CDE，对应弧为CE.

由于外切角等于所对弧度的一半，因此∠2=1[]2CD，∠CDE=1[]2CE.

再加上，由于外切角等于两内角之和，于是可以得出：

∠P=∠2-∠CDE

=1[]2CD-1[]2CE

=1[]2（CD-CE）.

因此，得出圆外角在一条切线和一条割线情况下的第二个性质：∠CPD=1[]2（CD-CE）.

继续看图2-6，为了了解圆外角的第三个性质，教师列出了图2-6（两条割线产生的情况），图2-6中R点、S点进行衔接，作出了一条辅助线RS，这样就得出两个角，一个圆周角∠3，对应弧QS和另一个圆周角∠4，对应弧RT.

由于外切角等于所对弧度的一半，则∠3=1[]2QS，∠4=1[]2RT.

另，由于外切角等于两内角之和，于是可以得出：

∠P=∠3-∠4

=1[]2QS-1[]2RT

=1[]2（QS-RT）.

因此，我们得出圆外角在两条割线产生情况下的第三个性质：

∠QPS=1[]2（QS-RT）.

3.圆外角三条性质师生互动挖掘教学的高效思考

本文所讲的课程为初中课本图形与圆的章节中的知识点，圆外角由于切线和割线的不同或出现的不同，导致的圆外角属性的不同.首先我们在图1-1＼图1-2和图1-3中，我们都列出了三种情况下的圆外角，第一种就是出现两条切线情况的圆外角∠APB，第二种就是出现一条切线和一条割线情况下的圆外角∠CPD，第三种就是两条割线情况下的圆外角∠QPS.

这样很形象，学生们都能找出来这三个圆外角，根据图1-1、图1-2，图1-3.但是，当教师深入谈到了这三个圆外角等于哪些弧度的差值时，学生们陷入了一片平静.这个时候，教师通过多媒体现代教学设备在投影仪上列出了图2-1、图2-2和图2-3.有部分同学根据教师所标注的弧颜色的不同，一下子探索起来，原来是这样啊.

原来，圆外角的弧度数等于所夹两条弧度差的一半，也就是图2-1，图2-2，图2-3中，大弧减去小弧的一半啊，但是，为什么会这样呢？怎么就知道它们的结果是这样呢？学生一方面好似找到了答案，一方面又搞不明白为什么会这样.

这样的教学策略，以往来说，有教师也明白，也会去做，但在教学实践过程不是讲得太快，就是觉得这些仅仅是概念，学生背背就好了，不就针对学生的心理成长和接受能力的现状，因此当教师自顾自地讲时，学生连基础的圆外角概念和属性都不明白，又如何去训练大量的考试习题，又如何去明白举一反三的道理.