从学生错误中寻觅数列题中的数学思想

张茂红

古人说：“授人以鱼，不如授之以渔”，它道出了数学思想方法的重要性.数学思想方法和基础知识是数学结构中两大支柱.因此需要教师在传授知识的同时，明确、恰当地讲解与渗透数学思想方法.特别是在解题教学中，应重视思路分析，提炼具有普遍意义的思想和方法.当学生明确了数学思想方法在解题中的指导作用后，具体的解题技巧就会上升为一般的解题方法，从而使学生超脱题海之苦，大大优化学生的思维品质.下面笔者就结合自己教学中对于学生出现的错误谈谈数列中的数学思想，希望和同仁交流.

一、类比思想

类比法就是依据两个数学对象的已知相似性，把其中一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得后一数学对象的性质的一种方法.

在苏科版必修5第二章《数列》共分三个部分，数列的概念、等差数列、等比数列三个部分.其中等差和等比的学习过程充分体现出类比思想.

案例1已知数列{an}满足a1=1，an+an-1=12n（n≥2），Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n，则3Sn-an·2n+1=▲ .

马同学错误分析：题干中提到数列递推关系，用了很长的时间从累加法、累成法、构造新数列法去分析，也没有求出通项，后来由于畏难心理以及数列求和方法（错位相减法）忘记.将题目留到了最后，又因为时间紧，根本来不及思考计算.

点评学生易于受an+an-1=12n的影响，求不出通项an，使得心理上失去了信心，对其他的条件也就不去思考分析了.而本题应该从Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n①的形式类比课本中学习的等比求和的方法（错位相减法）入手，两边同时乘以2，得2Sn=a1·22+a2·23+…+an·2n+1②，①+②得到3Sn-an·2n+1=n+1.

二、参数思想和分类讨论的思想

数学中的参数是介于常量和变量之间的具有中间性质的量，参数本质虽然属于变量，但又可以把它看成是常数.

分类讨论思想是高中数学中一种极其重要的数学思想方法.通过分类可以把动态问题分解成若干个相对确定的问题，可以把一个复杂的问题分解成若干个相对简单的问题，这样可以圆满解决问题.

案例2若已知数列{an}是首项为6-12t，公差为6的等差数列，数列bn 的前n项和为Sn=3n-t.

（1）求数列{an}和bn的通项公式；

（2）若数列bn是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N*，n≥1），均存在正整数cn，使得bn+1=acn，并求数列cn的前n项和Tn.

吴同学错误分析：本题很容易求出an=6n-12t，很好求，但是由于始终觉得t可以求出来，加上在求bn时忽略了n=1的情况，直接用an=Sn-Sn-1来计算，从而得到了一个bn为等比的一个通项公式.

点评本题在学生错误中发现，绝大多数学生在求（1）时就出现了错误.错误分为两类思想问题：（1）参数t在本题中应该视为常数，结果应该保留t.（2）对于Sn=3n-t求通项an时没有分类讨论，即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.

三、函数思想

函数思想是变量与变量的一种对应的思想.而在数列中无论是an与n还是Sn与n都可以视为函数.比如等差数列中an可以视为关于n的一次函数，Sn可以视为关于n的二次函数.另外函数的性质也在数列中广泛应用.

案例3已知数列{an}，bn满足an=12bn.

（1）若数列bn是等差数列，求证{an}是等比数列；

（2）若数列{an}的前n项和为Sn=1-12n，设对于任意的正整数n，恒有

1an>λ1+12b1-11+12b2-11+12b3-1…1+12bn-1成立，试求实数λ的取值范围.

张同学错误分析：题（1）很容易，题（2）做出λ<2n×1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×2n后下面不知道如何求解了.

点评对于λ<2n×1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×2n，要求出Tn=2n×1×3×5×…×2n-12×4×6×…×2n的最小值，这时应该把Tn看作函数来思考，根据函数的单调性来研究最小值问题.所以求出Tn+1-Tn>0或Tn+1Tn>1得出数列Tn是单调增函数，故λ

数学思想方法的形成，非一日之功，必须经过日积月累.对于教学而言，知识的发生过程，实际上就是思想方法的发生过程.因此，在概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、规律的揭示过程中都应向学生渗透数学思想方法，我们在解题教学中，不能就题论题，把题目解出来就完了，而应从数学思想方法的高度来指导解题教学，逐渐培养学生学会用数学思想方法观察、比较、分类、综合、抽象、概括问题的习惯，达到增进能力、优化思维的目的.

【参考文献】

[1]郑毓信.数学教育：从理论到实践[M].上海：上海教育出版社，2001.

[2]李朝文.探索性问题的解决与创造性思维的培养[J].数学学习与研究，2012（15）.