聚焦中考真题谈相似三角形的复习

程晓花

安徽省中考数学试卷，历来都注重对相似形的判定、性质及应用能力的考查，笔者查阅了2005～2013年安徽省中考数学试卷，就相似三角形考题作如下统计：

从上表可以看出，近9年中，相似三角形是年年必考，在连续性考查的同时，考点内容又相对稳定. 如作图考查了3次，判定考查了4次，性质则是每年必考，同时注重学科内知识的综合. 尤其值得一提的是，9年中有6次出现了对相似基本图形的考查. 这些信息给我们的中考复习带来有效的指导. 笔者不避粗陋，来谈谈相似三角形的复习，与同仁分享，也请大家指正.

一、注重知识的重组优化

片段一 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？请说明理由.

（1）所有的直角三角形都相似；

（2）所有的等腰三角形都相似；

（3）所有的等腰直角三角形都相似；

（4）所有的等边三角形都相似；

（5）有一个角是100°的两个等腰三角形相似；

（6）有一个角是70°的两个等腰三角形相似.

判断一系列特殊的三角形间是否具备相似性，复习了相似三角形的判定定理，在学生说理中，加强对知识的辨析与巩固，开拓了学生的空间想象能力和思维能力，获得知识的重新构建.

巩固提升：如图1～6，请写出相似的三角形，并证明.

从说理到证明，训练学生口头表达及书写能力，并提高学生图形语言、符号语言、文字语言等的灵活应用. 图1和图4都是平行条件下相似三角形的A型和X型. 当两个三角形存在公共角时，若公共角的对边不平行，如果满足另一组角对应相等或是公共角的两边对应成比例，也就是图2，3，5，就是仿A型，其中图3的三个直角三角形都相似，又称为母子型. 若上述公共角为对顶角，则是仿X型，如图6.

二、注重基本图形的应用

片段二 新基本图形：M型

我们要从复杂图形中分离出基本数学模型，这样对解决问题有化繁为简的效果.

（2004年安徽，19）如图7，已知△ABC，△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上.请找出一个与△DBE相似的三角形，并证明.

证明 △DBE∽△ECH. 理由如下：

法一 ∵△DBE与△ECH中，

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°，

∴∠BDE + ∠BED = 120°，

∠BED + ∠CEH = 120°，

∴ ∠BDE = ∠CEH.

∴ △DBE ∽ △ECH.

法二 ∵△DBE与△ECH中，

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°，

又∵ ∠CEH + ∠DEF = ∠BDE + ∠B，

∴ ∠BDE = ∠CEH，∴ △DBE ∽ △ECH.

解法一用到了三角形内角和定理与平角的定义，解法二则用到了三角形外角和定理的推论，即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此可看出，本题中的60°并没有起到实质性的作用，只要∠B = ∠C = ∠DEF，就必有△DBE∽△ECH，同理我们还能得到△DBE∽△GAD. 不难发现∠B，∠C，∠EDF这三个相等的角的顶点在同一条直线上，把具备这种条件的图形称为“一线三等角”型基本图形.

为了和前面的A型、X型等基本图形叙述上的一致，并且便于学生直观形象记忆，笔者习惯上把它称为M型（折线段BDEFC就像大写字母M）.

（2009年安徽，22）如图8，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME = ∠A = ∠B = α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

当年的评分标准是写出两对相似的三角形即可，其中△AFM∽△BMG是M型，是学生不容易找出来的. 若是熟悉了M型，问题也就迎刃而解了.

三、注重对“翻新题”的试题研究

中考一直强调对创新意识和自主探究能力的考查，中考命题从2004年起经历了起步期、发展期，近年来考题已趋于稳定，有很多中考题都是以往中考题的“翻新题”. 如2003年和2011年的第10题，都是动点问题，都是利用相似三角形对应边成比例这一性质定理得到的分段函数关系式，体现了数形结合和分类讨论思想. 八年后，题目重现，只是条件中的平行四边形改成菱形，更为特殊了，是一道翻新题.

四、注重数学思想方法的教学

片段三 如图9，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点D在AC上，已知AB = 5，AC = 3，AD = 1.

（1）在AB上取一点E，使△AED与原三角形相似；

（2）在三角形边上取一点，使△AED与原三角形相似.

此题通过作平行线构造相似三角形的A型来研究，使学生加深对判定定理的理解及应用，同时考虑到结论的不唯一性，培养学生分类讨论的思想. 2013年第23题也用到同种方法.

上述四点是通过对近年来中考真题分析得出的，以真题促教学，借此来提高复习效率.