由一个错误案例引发的思考

尚军 尤中华

【摘要】 学生的数学经验是学生学习数学的重要基础. 在数学教学时，我们要从学生已经具备的数学经验出发，让学生产生新的数学经验，让学生学会用发展的眼光来看待老经验. 数学教学时，除了备教材，还要备学生的数学经验，要让所有学习任务都建立在学生的数学经验基础之上.

【关键词】 老经验；新问题

教学案例：人教版小学数学六年级上册第72页第9题（见下图）：

教学片断：

当学生完成这一道题目之后，教师为了拓展学生对圆的知识的理解，就根据这道题型抛出了一道题让学生解答：在一个长20厘米、宽4厘米的长方形内剪直径为4厘米的圆，可以剪几个？学生根据以前学习过的长方形与正方形的相关知识经验（都是用大图形的面积来除以小图形的面积而得出来的），许多学生都列出了这样的式子，20 × 4 ÷ [3.14 × （4 ÷ 2）2] ≈ 6.37（个），所以这些学生都得出了一个答案，就是利用去尾法得到大约可以剪6个. 其实这道题利用以往的知识经验来解答是错误的，但是如何纠正学生的错误呢？

师：大家请看，这样的解法对吗？下面小组讨论一下，也可以画图来解决.

学生小组讨论.

生1：我感觉不对. 因为当我们在这个长方形中剪去一个圆的时候，圆的四周被剪下来的都没有用了，它应该从长方形面积中减去才行.

师：你很会思考. 其他同学，谁想说一说自己的发现呢？

生2：我通过画图，发现这个长方形只能剪5个直径是4厘米的圆，根本剪不了6个，是什么原因呀？（这名同学抓耳挠腮，一副百思不得其解的样子）

师：对，是什么原因呀？按照以往的经验，这张长方形纸可以剪6个圆，但是实际操作却只能剪4个. 大家再回忆一下生1的思考，想一想，会是什么原因呢？

生3：我知道了，其实这道题目根本不能用长方形的面积除以圆的面积，根据我们刚才做课本上第9题的经验，在一个正方形里剪一个最大的圆，那么这个圆的直径就是这个正方形的边长，所以，在这个长方形里剪直径是4厘米的圆，就说明这个圆的直径就是长方形的宽，也就是说，只要看长方形的长可以剪几个这样的宽，就可以剪几个圆了. 所以，我认为应该用20 ÷ 4 = 5（个）.

这名学生的回答引发了许多学生的举手，纷纷想表达自己的见解.

生4：根据刚才解决课本第9题的经验，在一个正方形里剪一个最大的圆，那么，这个圆的面积就是这个正方形面积的二百分之一百五十七，所以，在这个长方形里剪出来的圆的面积和应该是20 × 4 × ■ = 62.8（平方厘米）.

……

师：讲得很有道理，如果在这个长方形中剪直径为2厘米的圆，那么最多可以剪多少个呢？

（学生纷纷计算起来）

生5：根据刚才的分析，其实刚才是剪直径为4厘米的圆，可以剪5个，现在剪直径为2厘米的圆，可以剪的个数是直径为4厘米圆的2倍，也就是说可以剪10个.

生6：不对，不对，我是这样计算的，（20 ÷ 2） × （4 ÷ 2） = 20（个）.

师：到底哪一种计算方法对呢？大家再讨论一下，想一想.

（学生小组讨论）

生7：我认为生5是错误的，因为边长为4厘米的正方形中可以剪4个直径为2厘米的圆，所以，应该是20个.

师：你能到前面演示给大家看吗？

生7到讲台前演示.

师：大家看懂了吗？（生纷纷点头）看来老经验不一定能解决新的问题了. 当遇到新的问题时，我们就要换一种角度来思考，而不能只凭借老经验来思考，这样，就不会出现错误啦.

……

思考：

虽然在解决这一道题目时浪费了课堂时间，但是我心中有一种说不出的高兴，因为在这一道题目的教学过程中，我让学生明白了一个道理：不能用老眼光来看新问题，做任何事情都要以发展的眼光来解决问题，都要尊重当时的问题情境与条件，运用已经有的知识经验来解决问题. 在高兴之余，我也陷入了深深的思考之中.

1. 在进行教学准备与教学设计时，我们的着眼点不能只是教材的内容，还应关注学生的知识经验水平. 我们要考虑到学生为这些新知识的学习已经储备了哪些知识经验，这些知识经验会不会把学生引入误区. 但是，在平时的课前准备过程中，有些教师首先考虑的不是学生的知识经验水平，而是把重点放在如何设计一些练习题上，让学生巩固、强化所学知识. 关注点是应该向学生传授哪些知识，而不是学生能不能接受这些知识. 我想，我们的教学设计首先考虑的应该是学生，这也就是我们平时说的“备学生”. 在进行教学设计之前，要先考虑到学生，分析学生，然后根据学生的实际情况来设计教学活动. 就像这道题目的教学，我根据教材第72页第9题来拓展一下内容，其目的就是想让学生在原来的知识系统中增加一些新的元素，以备将来灵活运用. 但是我却没有考虑到学生会受前面知识经验的影响，结果就造成了错误. 值得庆幸的是，我及时发现了问题，及时调整了教学方向，变错误资源为有用资源，让学生在错误资源中汲取新的知识. 如果教学这一道题之前，我走进学生，了解了学生，那么在教学时也就不会出现临时变更教学节奏的现象了. 所以，在每一节课教学之前，我们要先了解学生的知识与技能储备，哪些问题学生可以轻而易举地解决，哪些问题学生需要独立思考才可以解决，哪些问题需要学生在一起合作讨论甚至是教师的讲解引导才能解决. 这些在课前都要做到胸有丘壑，这时，我们再来设计课堂教学，才能做到有的放矢.

2. 关注教材信息，更应该关注学生的经验. 数学教学资源有千万种，但是最基础的两种就是教材资源与学生经验. 教材资源所提供的信息必须通过学生的经验来吸收与内化，必须通过学生的知识经验来提升，这样才能让学生形成新的知识经验. 如果学生没有将学习内容内化为自己的知识经验，那么，这样的学习就不是真正意义上的学习，甚至可以说是无效的学习. 像案例中，当学生具备了在一个长方形中剪若干个圆的知识经验基础时，随后让学生再深化这方面的知识，剪更小的圆，学生就可以通过前面已经形成的知识经验来解决这个问题，虽然也会出现差错，但是当正确的答案呈现在他们面前时，不用多讲，学生就可以明白这一类题目的解题策略了. 所以，在教学时，我们应努力将课本资源信息与学生的知识经验有机地整合，只有这样，学生的知识经验系统才能更进一步地丰富，才能在以后的学习过程中产生更多的解题策略，才能更有效地解决一些实际问题. 如果我们只关注自己的预设，那么就会忽略来自学生的一些生成信息，而把学生的思维硬性拉到老师的预设当中来，甚至是亲自演示来验证自己的预设，这些都是不可取的. 当学生生成一些新的信息时，哪怕是错误的信息，我们都要珍惜，本案例的成功之处就是我及时发现了学生的知识经验基础，并根据学生的知识经验基础来及时调整教学，根据课堂上的生成及时调整预设，而不是强硬地执行自己的预设. 这样，才能收获事半功倍的效果.

整个教学案例让我深深体会到，学生在数学课堂上出现的错误往往是学生最真实的经验体现，面对这些错误，我们应及时调整方案，这样就会迸发出一个又一个精彩的瞬间.

【参考文献】

[1]李祎.数学教学方法论[M].福州：福建教育出版社，2010.

[2]王惠.如何培养小学生数学学习的兴趣[J].教科文汇，2009.