APP下载

巧解几何体的外接球问题

2014-04-29乔晓林

中学课程辅导·教学研究 2014年26期
关键词:转化

乔晓林

摘要:在近几年的高考中,经常出现几何体的外接球问题。为了使学生能够很好地解决此类问题,本文在已有几何体的基础上,结合具体的例题,归纳了此类问题的解题方法。

关键词:几何体;外接球;转化

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)09-0147

一、正方体的外接球

外接球的直径为正方体的体对角线。

设正方体的棱长为a,则外接球的直径为■a。

二、长方体的外接球

外接球的直径为长方体的体对角线。

设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则外接球的直径为■。

三、三棱锥的外接球

1. 正四面体:转化为正方体的外接球。

方法:如图所示正四面体ABCD的外接球,可转化为正方体的外接球。

例1. 一个四面体的所有棱长为a,四个顶点在同一个球面上,求该球的表面积。

分析:求该球的表面积关键是找半径;该四面体为正四面体,如图所示,将正四面体ABCD的外接球转化为正方体的外接球,球的直径为正方体的体对角线;因此先由正四面体的棱长求正方体的棱长,再求正方体的体对角线。

答案:■a2π。

变式:如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2,DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,求三棱锥P-DCE的外接球的体积。

分析:折起后可证明三棱锥P-DCE为正四面体,因此可转化为求正方体的外接球。

答案:■π

2. 有三个面是直角三角形的三棱锥:转化为正方体或长方体的外接球

方法:如图所示,在有三个面是直角三角形的三棱锥P-ABC中,若PA=PB=PC,则转化为正方体的外接球;若PA,PB,PC不全相等,则转化为长方体的外接球

例2. 已知三棱锥P-ABC,∠BPC=90°,PA⊥平面BPC,

其中AB=BC=AC=a,P,A,B,C四点均在球的表面上,求该球的表面积。

分析:三棱锥P-ABC有三个面是直角三角形,且PA=PB=PC,因此可转化为正方体的外接球,且正方体的面对角线长度为a,则正方体的棱长为■a,由此求出体对角线即为正方体的外接球直径。

答案:■a2π。

变式:已知正方形AEFG的边长为4,B,C分别为EF, FG的中点,将AB,BC,CA折叠成一个三棱锥P-ABC(使E,F,G重合于点P),求三棱锥 P-ABC的外接球的表面积。

分析:如上图所示,PA=4,PB=PC=2,所以三棱锥P-ABC的外接球是以PC,PB,PA为长,宽,高的长方体的外接球。

答案:24π。

3. 有四个面是直角三角形的三棱锥:转化为正方体或长方体的外接球

方法:如图所示,在有四个面是直角三角形的三棱锥A-PBC中,若AP=PC=BC,则转化为正方体的外接球;若AP,PC,BC不全相等,则转化为长方体的外接球。

例3. 已知球O的表面上有四个点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=■,求球O的体积。

分析:三棱锥D-ABC中有四个面是直角三角形,且DA=AB=BC,因此可转化为正方体的外接球,则体对角线即正方体的外接球直径为■。

答案:■π。

变式:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=■,BC=1,DA⊥平面ABC,DA=■,求三棱锥D-ABC的外接球的体积。

分析:如上图所示,DA=■,AB=■,BC=1,所以三棱锥D-ABC的外接球是以DA,AB,AC为长,宽,高的长方体的外接球。

答案:■π

4. 对棱相等的三棱锥:转化为长方体的外接球

方法: 如图所示,在三棱锥A-BCD中,

所有对棱相等,即AC=BD,AD=BC,AB=CD

则三棱锥A-BCD的外接球可转化长方体的外接球.

例4. 在四面体ABCD中,AB=CD=3■,AC=BD=AD=BC=3,求该四面体的外接球的表面积。

分析:四面体ABCD对棱相等,因此可转化为长方体的外接球. 假设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,则由a2+b2=9,c2+b2=18,c2+a2=9,得a2+b2+c2=36即长方体的体对角线长度为6。

答案:36π。

变式:上述条件改为“AB=CD,AC=BD,AD=BC,并且AB⊥CD,AC⊥BD”,则三棱锥为正四面体,因此可转化为正方体的外接球。

5. 底面是直角三角形,侧面均是等腰三角形且一个侧面与底面垂直的三棱锥。

方法:找截面

例5. 一个几何体的三视图如下图所示依次为正视图,侧视图,俯视图,正视图是一个正三角形,求这个几何体的外接球的表面积。

分析:由题可知几何体为如图所示的三棱锥,底面是直角三角形,其余面为等腰三角形。

在Rt△ABC中,E为中点且SE⊥平面ABC,过底面ABC作三棱锥外接球的截面,则E为截面圆的圆心。因此球心一定在SE上,设球心为O,连接OB,在直角三角形OEB中可求得外接球的半径。

答案:■π。

四、三棱柱的外接球

1. 底面是直角三角形的直棱柱:转化为正方体或长方体的外接球。(或者过上下底面作外接球的截面,截面圆圆心连线的中点为球心)(如右图)

例6. 已知直三棱柱ABC-A1B1C16个顶点都在球O的表面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,A1A=12,求该球的半径。

分析:如右图所示,两种方法都可以。

答案:■。

2. 直三棱柱:过上下底面作截面,找截面圆的圆心(求半径,可考虑正弦定理),球心为截面圆圆心连线的中点。在球心,圆心,顶点构成的直角三角形中求外接球的半径。

例7. 三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为2■,顶点在一个球面上,求该球的表面积。

分析:分别上下两底面作截面,截面圆的圆心为三角形的重心。

答案:28π。

五、圆锥的外接球

过顶点作底面的截面(截面与底面垂直),截出的等腰三角形外接圆的圆心为球心

例8. 已知一个几何体的正视图及侧视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,求该几何体的外接球的表面积。

分析:由题可知,△SAB为等边三角形,O为其外接圆的圆心。在Rt△OBC中求出OB,即为外接球的半径。

答案:■π。

六、圆柱的外接球

上下底面圆心连线的中点为球心

例9. 已知圆柱的底面半径为2,高为6,求圆柱的外接球的体积。

分析:如图所示,上下底面圆心连线的中点O为外接球的球心,在Rt△O1OA中, OA=■

答案:■■π。

(作者单位:内蒙古包头市一机一中 014000)

猜你喜欢

转化
孩子,不哭
农村初中数学后进生策略
大学生外在压力的转化研究
引例浅谈导数应用中的转化策略
对小学副班主任做好育人工作的思考
浅谈年画中人物的变化与人的自我意识觉醒
浅谈问题学生的转化
浅谈学困生的转化
浅谈演员“第一自我”与“第二自我”的转化
后进生转化和提升的实践与思考