《垂直于弦的直径》设计感悟

张德玲

摘要：生活中的数学问题称之为生活化数学问题。如何在初中数学教学中渗透这一理念呢？本文以《垂直于弦的直径》为例，从设计理念、目标预设、设计感悟三个层面阐述了笔者的主张。

关键词：生活化；赵州桥；感悟

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0142

一、设计初衷

数学教学应该从学生的生活经验和已有知识背景出发，采取不同的内容呈现方式，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。

数学知识离我们很近，学生解决实际问题的过程中，主要问题有两点：一是学生一见到实际问题就畏惧，根本不去读题；二是学生对实际问题不熟悉。为此本节课设计了一个实际问题，这样做的好处：一是具有非常实际的用处；二是与本节课的内容具有直接关系。这个问题解决了，以后见到类似的实际问题就不会感到陌生。

本节课是在学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。本节课有两个方面的内容：一是圆的轴对称性；二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是学生通过动手操作，得出结论。圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦、弧，学生总结出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥的问题。

二、目标预设

1. 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。2. 理解并运用垂径定理进行有关计算。3. 学会运用垂径定理解决一些有关证明计算和作图问题。

三、教学过程展示

1. 创设情景，提出问题

问题：观察网络或者教材上赵州桥图片并思考问题，它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离为7.2m），你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

2. 新课流程

（1）圆的对称性

互动探究：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折。

问题1：你发现了什么？

问题2：你能得出什么结论？

（2）垂径定理及其推论

如右图AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。

问题1：该图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（学生对折、探究）

问题2：你能发现图中相等的线段和弧吗？为什么？（小组合作交流，教师指导）

讨论与归纳：①在上图中连接OA、OB，垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴。②把圆沿着直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与AD分别与BC与BD重合。因此AE=BE，AC=BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及弧ACB。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。

问题3：一条直线若满足：①过圆心；②垂直于弦；又可得到什么结论？

学生：平分弦、平分优弧、平分劣弧。

问题4：已知直径AB，弦CD，且CE=DE，那么又能得到什么结论？（学生自己画图，小组讨论）

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

问题5：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径强调的作用是什么？

学生：如果这条弦是直径，平分但不一定垂直。

（3）解决赵州桥的问题

如右图用AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB交于C，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高，AB=37.4m，CD=7.2m，AD=■AB=■×37.4=18.7m，OD=OC-CD=R-7.2

在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2

即：R2=18.722+（R-7.2）2 解得：R≈27.9（m）

因此赵州桥主桥拱半径约为27.9m。

3. 变式训练，熟练技能

练习：判断：（1）圆是轴对称图形，直径是它的对称轴。（2）平分弦的直径垂直于弦。

4. 迁移应用，深化提高

你能利用上面的结论，帮助小明利用尺规作图的方法，确定右图残缺圆盘的圆心吗？

5. 总结

（1）本节课你认为自己解决最不好的问题是什么？（2）本节课你的收获。（3）通过这节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？

6. 作业：练习1-2题

四、设计感悟

1. 在情景设置中体现生活化。创设情境，求赵州桥主桥拱的半径，引起学生思考，激活了学生思维，引起学生兴趣，要解决这个问题，需要用到本节课知识，从而自然引入新课，并引起了学生的求知欲。数学起源于生活，又作用于生活。数学教学应着力体现“小课堂、大社会”的理会，让学生根据生活情境发现数学问题，运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生综合运用知识以及做出决策的能力。在新讲导入中，创设教学情景，使课堂教学更接近于现实生活。

如教学八年级《变量与函数》时，由许多学生熟悉的问题引入，先让学生对就量有一定的认识。在此基础上再通过学生熟悉的问题引出函数概念。引入的问题如人体的体温随着时音质变化在每个县体的时刻温度不是完全相同的。出租车车费业是随着行驶路程的远近而不同等等。虽然函数的定议较为抽象，但在教学中配以大量的事例进行讲解，学生还中可以接受的。又如在《抽对称》教学中，老师给学生准备了一些生活中的图案请同学们欣赏，可以用实物投影仪体显示。图片可以是枫叶、蝴蝶、剪纸、故宫建筑图片等，另个还有学生自己收集的银行商标、汽车商标、一些工艺品、剪纸等。通过列举尽可能的轴对称图形，使学生通过丰富的生活实例，欣赏并体会轴对称图形，发展学生的审美能力、鉴赏能力。所以，这种“生活化”的情景创设，可以大大激发学生的学习兴趣，激发学生学习主动性。

2. 让学生在数学活动中感受生活化

《数学课程》中强调在特意的数学活动中获得一些初步的生活体验，因此教师要想方设法改变教学方式，再联系生活实际，让学生在数学活动中获得生活体验。学生通过自己动手操作，发现问题归纳出圆是轴对称的图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，总结出垂径定理及推论，加深了学生对结论的记忆与掌握。

3. 数学方法数学手段贴近生活化

从数学方法看，要坚持启发式，创设问题情景，激发学生积极思维，引导它们自己发现和掌握有关规律。教师要并于提出问题引导学生思考。所提出的问题不论是实际问题还是理论问题都应紧密结合数学内容，并编抓成科学的探究程序，使学生能形成一条清晰的思路。本节课根据所学的知识，先把实际问题转化成数学问题，画出图形进行解答，这样很好地做到了前后呼应，充分体现了学以致用，尝试让学生自己解决，然后师生共同订正的步骤，加以规范，使学生凌乱的思维得到梳理。通过五个问题对新知识的教学，学生互相讨论，使学生的思维始终处于活跃、积极的思考状态，使思维得到不断的发展。

4. 回归生活，引导学生把生活中实际问题化归为数学问题

我们知道，化归思想是重要的数学思想，前苏联著名数学家柯瓦列夫斯卡娅有一句名言：数学解题的过程就是不断的化归过程。仔细体会我们平时的每一个数学问题的求解，都是遵循这一原则而展开的，其实质就是经化归后所得出的问题，应当是已经解决的，或者是较为熟知的、较为容易的、较为简单的。数学实际问题的解答自然也不例外。通常我们可以将其思路表示如下：

这样，可以把解答生活化问题思路破译分解为四个步骤：阅读理解、建立模型、模型求解、回归实际。

阅读理解：认真阅读题目，理解题意，收集、分析、处理数据，联想相关的数学知识，为解决数学问题做好准备。

建立模型：针对题意，联想已有的数学知识，通过抽象、概括，归纳把实际问题化归为纯粹的数学问题，即数学模型。

模型求解：运用具备的数学知识，技能和方法，完成对所建数学模型的解答。

回归实际：由于数学模型的解答并不一定完全符合问题的实际意义，所以要针对应用问题的实际，对模型的解答进行分析、反思，得出实际问题的正确解答。

参考文献：

[1] 王 静.初中几何教学生活化研究[D].山东师范大学.2010（4）.

[2] 汤 会，侯海文.浅谈数学教学生活化[J].中国校外教育.2008（5）.

[3] 田玉梅.数学教学“生活化”初探[J].教学研究.2007（5）.

（作者单位：湖北省公安县实验中学 434300）