数形结合思想在向量问题求解中的应用

林明霞

摘要：新人教A版教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量。所以，我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应树立数形结合意识，充分挖掘条件的几何意义。本文举例说明了数形结合思想在求解几类向量问题时的应用。

关键词：数形结合；向量；求解；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0140

一、求解向量的模和角度的有关问题

例1. 已知向量■，■夹角为45°，且■ =1，2 ■-■ =■，则 ■ =

分析：这种题目的常见做法是，将2 ■-■ =■两边平方，转化为向量数量积的问题。

解：如图1，作■ =2 ■， ■ =2 ■，∠AOB=45°，则■ =■，■ =2，设■ =x，根据余弦定理可得■2=

22+x2-2·2·x·cos45°，得x=3■。

例2. 已知两个单位向量■，■的夹角为60°，■ =t■+（1-t）■若■· ■=0，则t=

分析：本题利用数量积知识能算出t的值，然而利用几何法更加一目了然。

解：如图2，作 ■ =■，■=■，■=■ =t■+（1-t）■即■=t■，则点A，B，C三点共线。因为■ =■ =1且夹角为60°，所以△OAB为正三角形，所以■=1，又因为■· ■=0，即OC⊥OB，所以在Rt△COB中，∠COB=60°，OB=1，所以，BC=2，那么t=2。

二、求解向量最值或取值范围的问题

例3. （2008.浙江）设■，■是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 ■满足（■ -■）·（■ -■）=0，则■ 的最大值等于（ ）

A. 1 B. 2 C. ■ D. ■

分析：该题将条件（■ -■）·（■ -■）=0展开，利用数量积能得到答案，但利用几何法更加简洁。

解：如图3，■ =■，■ =■，■ =■，■ =■-■=■ -■，■=■-■=■ -■则由题意得CA⊥CB又OA⊥OB，则点O和点C都在以AB为直径的圆上，所以■ max=■max=■=■，故选C。

例4. 已知向量■=（2，0），■=（2，2），■ =（■cosα，■sinα）则向量■与■夹角的取值范围为（ ）

A. [0，■] B. [■，■]

C. [■，■] D. [■，■]

分析：本题若按照一般求角的方法来做很难操作，但是利用几何法非常容易。

解：■=■+■ =（2+2cosα，2+2sinα），则点A在以点C（2，2）为圆心，半径为■的圆（x-2）+（y-2）上。如图4，则当OA与圆C相切时， ∠AOB分别取得最大、最小值。因为OC=2■，AC=2，AC⊥OA，所以∠AOC=30°，又∠COB=45°，所以∠AOB最大为75°，最小为15°，故选D。

三、求解向量恒成立问题

例5. （2005.浙江）已知■ ≠■，■=1，对任意的t∈R，恒有 ■ -t■≥■ -■，则（ ）

A. ■ ⊥■ B. ■ ⊥（■ -■）

C. ■ ⊥（■ -■） D. （■ +■） ⊥（■ -■）

分析：本题采取代数法和几何法都可以解决。代数法是通过将■ -t■≥■ -■两边平方，转化为关于t的一元二次不等式恒成立问题，但计算上容易出错。

解：如图5，■=■，■=■，有■ -t■≥■ -■恒成立，即■ -■表示点A到向量■所在直线的最短距离，所以有■ ⊥（■ -■）成立，选C。

例6. （2013.浙江）设△ABC， P0是边AB上一定点，满足P0B=■AB，且对于边AB上任一点P，恒有■ ·■≥■·■，则（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC

分析：本题方法多样，但是很多学生无从下手，究其原因是对 ■ ·■≥■·■的本质不了解。而大多采用代数方法，计算麻烦。

解：利用公式 ■· ■=■，则■ ·■≥■·■化为■≥■

如图6，取BC的中点M，则有■2≥■2，即■≥■，即点M到直线AB的距离以MP0最短，所以有P0M⊥AB，取AB中点N，则P0M∥CN，所以CN⊥AB，所以CB=CA，选D。

向量是数形结合的典范，在平常的教学中，我们应更注重向量几何意义的教学，让学生树立利用数形结合法求解向量问题的意识。

（作者单位：浙江省苍南县钱库高级中学 325804）