逆向思维在中小学数学中的应用

【摘要】 介绍了逆向思维的定义，类型以及在中小学数学中的一些应用，并对如何培养中小学学生的逆向思维提出了几点建议.

【关键词】 中小学数学； 逆向思维； 教学方法

【作者简介】 李中涛（1981-），男，汉族，山东蓬莱人，大学本科，小学一级教师，山东省蓬莱市于庄小学教导主任.

在新一轮的课程改革中，数学教学把培养和发展学生的思维提到了重要的地位. 俄罗斯的奥加涅相在其《中小学数学教学法》一书中说： “区别于传统教学，现代教学的特点在于力求控制教学过程，讲究科学的方法以促进学生思维发展. ”这表明培养和发展学生的思维是作为教学者在教学过程中把握的一条主要脉搏，而思维的培养绝不是一朝一夕就能完成的，所以我们应在平时的教学过程中研究方法，掌握尺度和分寸，把握新课程的特点，不失时机地培养和发展学生的思维能力与水平[1-3].本文着重谈谈逆向思维在中小学教学中的重要性.

一、逆向思维的定义

逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式. 敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象. 当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维.

二、逆向思维的类型

（一）逆反转型逆向思维法

这种方法是指从已知事物的相反方向进行思考，产生发明构思的途径.“事物的相反方向”常常从事物的功能、结构、因果关系等三个方面作反向思维. 比如，市场上出售的无烟煎鱼锅就是把原有煎鱼锅的热源由锅的下面安装到锅的上面. 这是利用逆向思维对结构进行反转型思考的产物.

（二）转换型逆向思维法

这是指在研究一问题时，由于解决这一问题的手段受阻，而转换成另一种手段，或转换思考角度思考，以使问题顺利解决的思维方法. 现代生活中有许多转换型逆向思维的例子，例如，2009年我国发生了汶川大地震，许多人被压在巨大的石板下无法脱身，在这种情况下，救援人员采取撬动石板或分裂石板的方法使石板离人，实际上就与“司马光砸缸”的例子有异曲同工之妙. 再如我们日常生活中用到的会转动的餐桌，削铅笔用的转笔刀等等都是转换型逆向思维的发明产物.

（三）缺点逆用思维法

这是一种利用事物的缺点，将缺点变为可利用的东西，化被动为主动，化不利为有利的思维发明方法. 这种方法并不以克服事物的缺点为目的，相反，它是将缺点化弊为利，找到解决方法. 例如护城河虽然是城池的天然屏障，一旦阴雨连绵不断，护城河河水暴涨，却会起到相反的作用，曹操正是利用这一点打败了小沛城中的吕布.

三、逆向思维在中小学数学中的应用

（一）逆向思维在算术中的应用

古人云：“一尺之捶，日取其半， 万世不竭. ”意思是说：一尺长的马杖，每日砍下一半长度，始终是砍不尽的. 它不仅说明物质无限可分，还说明了物质不灭， 颇具哲学意义.

我们用数学来证明其正确性也是很容易的. 假设马杖的长度为1，则第一天砍下一半后还剩 ，第二天砍下一半后还剩下 ，…… 第n天后马杖还剩下 ^n，我们知道：不管n多么大， ^n始终是大于0的，这就证明了古语的正确性.

实际上， 我们还可以运用逆向思维， 从反面来考虑： 假设第n天砍过之后， 马杖的长度为0， 则第n天砍之前， 马杖的长度为0 × 2 = 0， 第1天砍之前， 马杖的长度仍为0 × 2 = 0， …… 第1天砍之前， 也就是马杖最初的长度还是0 × 2 = 0， 而马杖最初显然是有长度的，这样就得到了矛盾，从而说明古语是正确的. 由此可见， 运用逆向思维来考虑某些问题，也会收到很好的效果.

上面我们所举的例子无论从正面考虑， 还是从反面考虑， 都能很容易的解决问题， 但有时候有些问题从正面是很难考虑的.

例如： 计算： + + +… + .（1）

这道题如果不给提示的话， 会难倒很多同学， 因为直接去算的确很麻烦， 是不可取的. 我们显然知道下面的事实：

1 - = = ， - = = ，…， - = = .（2）

由a = b显然可得b = a，我们不要对此不以为然，实际上这就是逆向思维的运用，现在我们运用逆向思维，利用（2）式就知道：

（1） = 1 - + - + - + … + - = 1 - = .

（二）逆向思维在统计中的应用

问题： 有10个足球队参赛，比赛采用单循环淘汰制，要产生冠军需要进行多少场比赛？

常规算法： 10个队分成5组，第一轮比赛要赛5场，结果胜出5个队，然后进入第二轮比赛，要赛两场，胜出2个队，再与该轮比赛中轮空的一队进入第三轮比赛，比赛一场后胜出一个队，最后与轮空的一个队决赛产生冠军，所以要进行的比赛数是： 5 + 2 + 1 + 1 = 9.

这个问题我们可以用逆向思维法很快解决：由于比赛是单循环淘汰制，每个队只能失败一次，而冠军队必然没有失败过，其他的9个队都失败过，所以进行了9场比赛.

我们这里所提的问题是10个队，采用正面的算法或许还算简单，但若是100个队，甚至是1000个队呢？从正面求解就复杂了，这时候更能体现出逆向思维的妙处了.

（三） 逆向思维在几何中的应用

平面几何中有许多定理的逆命题也是正确的，我们称之为该定理的逆定理. 例如：两直线平行，同位角相等. 其逆命题“同位角相等，则两直线平行”也是正确的. 再比方，我们学习了圆和多边形的关系之后，就知道，任给一个圆，我们都可画出该圆的一个内接三角形. 反过来，任给一个三角形，是否都可画出它的一个外接圆呢？ 回答是肯定的，因为三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该交点就是外接圆的圆心. 但. 些定理或性质的逆命题却不一定正确. 比方说任给一个圆，我们同样可以画出它的一个内接四边形. 但反过来，任给一个内接四边形，我们却一定能画出它的外接圆.

为什么任意三角形一定能画出它的外接圆，而任意四边形就不可以呢？ 他们差在哪儿呢？ 细心的学生就会发现，如果一个多边形有外接圆，则必有一点到该多边形的各顶点距离相等，而到一条线段两端距离相等的点，必然在该线段的垂直平分线上，因此问题就转化为：如果一个多边形各边的垂直平分线相交于同一点，则该点到这个多边形的各顶点距离相等，因而该多边形就有外接圆，反之，如果各边的垂直平分线不能相交于一点，则该多边形就没有外接圆. 对于任意的四边形，其四条边的垂直平分线不一定相交于一点，因而也就不一定能画出外接圆了，对于更多边形就更是不一定能画出了.

教师通过提这样的问题，可以锻炼学生的逆向思维，同时可加深他们对圆与多边形的关系以及垂直平分线性质的理解，可谓一举多得.

四、培养学生逆向思维的几点建议

在这里，作者对本文做一个总结：作者首先介绍了逆向思维的定义，让学生了解什么逆向思维，然后介绍了逆向思维的几种类型，通过列举一些生动的例子可以让学生加深对逆向思维的理解，接着作者就自身的教学体会列举了逆向思维在数学教学中的一些应用，通过类似的应用，可以慢慢培养学生的逆向思维，让他们在学习中去理解，去掌握，并应用于学习和实践.

同时，作者认为：并非所有问题都可以运用逆向思维去解决，就好比并非所有的问题都能从正面轻易解决一样，对于那些从正面就很容易解决的问题，大可不必绞尽脑汁去从反面来考虑；而对于那些从正面难以解决的问题，可以建议学生运用逆向思维尝试着解决. 总之，运用逆向思维要因地制宜，看具体情况而定.

【参考文献】

[1]徐传开.浅谈新课程实施中学生数学思维培养的策略[J]. 数学学习与研究， 2012， （21）： 56.

[2]封其媛.规范管理下的学生自主学习能力的培养[J]. 数学学习与研究， 2011， （14）： 106.

[3]朱莉萍. 数学课堂教学提问中应注意的几个问题[J]. 数学学习与研究， 2010， （11）： 29.

[4]柳碧清，杨丽英，马河泉. 浅谈数学中的逆向思维[J]. 金卡工程， 2009（8）：278.