初中数学教学如何培养学生逆向思维能力

杜得梅

[摘 要]数学教学和数学工作者讨论最多的便是学生创新思维和能力的培养，而加强逆向思维能力的开发是最主要的内容之一，有助于学生解题思路的拓宽和解题速度的提高。在初中数学教学中，培养学生逆向思维主要手段有：在概念的教学中培养逆向思维能力；在定理的教学中培养逆向思维能力；多用逆定理培养逆向思维能力；在反证法的教学中培养逆向思维能力；在逆向变式训练中培养学生逆向思维能力。

[关键词]初中数学 逆向思维能力

数学教学和数学工作者讨论最多的便是学生创新思维和能力的培养，而加强逆向思维能力的开发是最主要的内容之一，有助于学生解题思路的拓宽和解题速度的提高。并且逆向思维的开发可以突破学生的固定思维模式，打破原有的思维瓶颈，发现新的解题思路。教师在数学教学中，应使用逆向思维来帮助学生理顺教材的逻辑顺序，帮助学生理解相关基础知识，拓宽学生的思维空间，运用教材中的互逆知识点，使学生的逆向思维能力得到相应的提升。为此，笔者结合自身的工作经验，就初中数学教学培养学生逆向思维的问题谈一下几点意见。

一、在概念的教学中培养逆向思维能力

我们知道概念是客观事物的本质属性在人们头脑里的反映。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。不妨从“逆向”的角度去认识概念，去挖掘一下概念所包含的一切性质及隐含条件，这样能够加深对概念的理解。培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。

例如，在讲"相反数"概念时，不但要问学生：“5的相反数是什么？”还要问：“-5是什么数的相反数？”，“-3和什么数是互为相反数？”，“互为相反数的两个数有何特征？”，这样从正逆两个方面提出问题，可以帮助学生深刻理解相反数的概念。类似的，在讲“绝对值”时，也可以从正逆两个方面去引导学生。

二、在定理的教学中培养逆向思维能力

《数学课程标准》指出："数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律和能力基础，……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识能力基础之上。"因此，在数学定理的教学中，要认识到不是所有的定理的逆命题都是正确的，要引导学生探究定理的逆命题的正确性，能使学生学到的知识更加完备，激发学生去探索新的知识。

例如，对定理“等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合”，逆向分析可得出怎样的几个命题？是真还是假？有什么用途？学生既熟悉了等腰三角形的“三线合一”的性质，又掌握了等腰三角形的判定方法。

三、多用逆定理培养逆向思维能力

数学教学的主要内容是解题的基本方法，如分析法、反证法、待定系数法等.有意利用逆向思维引导学生去探究定理的逆命题的真假，不仅能使学生更加系统完善地学习知识，激发起他们的探究欲望，还能培养学生创造性地把定理题设与结论相互转化，进而形成有异于传统基本思想的逆向思维.在此过程中，分析法在几何教学中的应用比较多.比如遇到几何证明题时，学生可以先从结论着手，结合题目中所给图形与已知条件来分析问题，仔细分析“要证什么，则需先证什么”.对于分析法而言，就是从结论出发，把结论步步倒退，并根据逻辑思维的规律性，考虑由什么条件可得出这个结論，直至与已知条件接轨.然而，反证法的思维特点与其他的方法不同，它是通过证明一个命题的逆命题或否命题来间接证明原命题的正确与否，这是运用逆向思维的一个典范.为此，我们将着重举例说明反证法的逆向思维.例如，证明

2006不能等于任何一个关于x的整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式

b2-4ac的值.

分析：假设存在a，b，c，判别式b2-4ac=2006.因2006和4ac是偶数，则b2=2006+4ac必为偶数，于是b也是偶数，设b=2m（m为整数），则4m2-4ac=2006，式子左端是4的倍数，而右端2006=4×501+2不是4的倍数，这与假设矛盾，故2006不能等于任何一个关于x的整系数二次方程ax2+bx+c=0的判别式b2-4ac的值.

四、在反证法的教学中培养逆向思维能力

反证法是通过推证“结论的反面是错误的”引出矛盾，从而肯定“结论本身是正确的”。反证法的特点是先提出与待证的结论相反的假设，然后推倒与公理、定义、已证的定理或题设相矛盾的结果。这样，就证明了与待证的结论相反的假设不成立，从而肯定了原来求证的结论成立。因此，它是培养学生逆向思维能力的重要方法。

例如，已知且，求证中至少有一个小于2.

分析：结论若是“都是”，“都不是”，“至少”，“至多”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑用反证法。

证明：假设都不小于2，即这与已知条件矛盾，故假设不成立。

五、在逆向变式训练中培养学生逆向思维能力

逆向训练就是将题目中的已知和求证调换着进行训练。如：在等腰三角形中证明角相等，我们可以利用“等边对等角”的定理进行证明；反过来我们也可以利用“等角对等边”，通过角相等来证明三角形是等腰三角形，在教学中可以多进行训练，锻炼学生的逆向思维。在几何证明题的教学中，教师也可以教学生从需要证明的结论出发，逆向推理，从而得出完整的证明过程，这样的教学需要发挥教师的主导作用。总之，逆向思维在中学数学教学中具有十分重要的作用。学生运用逆向思维可以加深学生对基础知识的理解和掌握，可以发现一些解题技巧，可以培养学生创新能力，同时还能提高学生分析问题的能力，但是中学生逆向思维薄弱也是现在教师面临的问题，教师应当加强这方面的讲解，也可以设计一些习题，让学生在做题的过程中提高学习数学的兴趣。

总之，在初中数学所教学中，教师应引导学生打破传统思维定式的束缚，培养他们的逆向思维能力。注重在概念的教学中培养逆向思维能力，在定理的教学中培养逆向思维能力，多用逆定理培养逆向思维能力，在反证法的教学中培养逆向思维能力，重视逆向变式训练。

参考文献：

[1]教育部.初中数学课程标准[M].人民教育出版社出版.2013.

[2]孟祥云.注重逆向思维能力的培养[J].中小学数学.2005，7-8.

[3]杨志文.在初中数学教学中培养学生逆向思维能力的几点做法[J].中学教研.1988，07.