经典品读：几何综合法与向量坐标法，孰优孰劣

洪昌强

新课标要求我们能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用.其意图表明向量是一种数学工具，具有广泛的应用，同时也为研究立体几何提供了新的视角.但新课标又要求我们在学习中能灵活选择运用向量法与综合法，从不同角度解决立体几何问题.而实际上，我们在处理立体几何问题时，几何综合法和向量坐标法的使用情况怎么样呢？

分析 对于题1，由于本题△ABO所在的平面就是空间直角坐标系xOy，所寻找的点M是在△ABO内，其坐标设为（x，y，0），未知数仅有两个，列方程和解方程都比较方便. 因此，题1使用坐标法得分率比较高. 对于题2，从本题所提供的几何图形来看，建坐标系比较方便，多数同学开始就选择了坐标法，把求直线与平面所成角的问题转化为直线与平面法向量所成角问题. 绝大多数的同学按平常的解题思路，直接设H（x，y，z）. 从统计中发现，有三分之二的同学，根据条件OH∥平面PAB得到OH与平面PAB的法向量垂直，即（3，-3，4）·（x，y，z）=3x-3y+4z=0，有一半以上的同学不会建立第二个等式. 为什么只能列出一个式子，而不会列出第二个等式？其原因是，在高中阶段，当点在已知直线上时，多数同学知道利用向量共线来处理. 对于点在平面上（除特殊条件约束外），在空间直角坐标下，中学没有提及平面方程，绝大多数同学缺少处理点在平面上的经验. 这也是导致本题用坐标法处理得分低的重要原因之一. 從以上解法知，本题即使将直线PH与平面ABC所成角的正弦值表示为x的函数，求这个函数的值域并不是一件容易的事，其中求变量x的取值范围也并非易事.

向量坐标法的一般的操作步骤是：第一步，建立空间直角坐标系；第二步，计算相关点坐标及各线段对应向量；第三步，通过解方程求相应平面的法向量；第四步，根据向量数量积的公式列式并计算. 其解题实质就是将几何问题转化为数量问题进行量化处理. 坐标法虽然运算要求较高，但技巧性不高，容易操作，解题过程程式化，可以通过做一定量的试题来进行强化训练. 我们处理立体几何解答题习惯使用坐标法，但对一些点或直线不在特殊位置上，即一些关键点不易用坐标表达时，解题思路容易被坐标法捆住. 题2得分低的主要原因就在于此.

2.2 综合法

对于题1，此题要求我们能从“平面PAC⊥平面ABC”和“△PAC与△ABC是等腰三角形”联想到平面与平面垂直的判定定理和性质定理，然后在△PAC中过P作PQ⊥OE，交OE于Q，交OA于H，并通过这些定理证明PH⊥平面BOE，再过F作FM∥PH，交BH于M，点M即为所求.

分析 此题为什么只有5%的同学选用综合法呢？对于题1，欲直接在△ABO内找一点M，使FM⊥平面BOE，会遇到两个较难处理的问题：一个是M点在哪里；另一个是平面BOE内能比较容易证明与FM垂直的两条直线在哪里. 对此，好多同学感到束手无策，因为要寻找所满足条件的FM离已知条件有些“远”. 俗话说：此处不留人，自有留人处. 能否在靠近已知条件比较“近”的平面上寻找解题突破口？由已知条件，不难发现平面PAC与平面BOE具有垂直关系. 解决此题的关键是将条件“平面PAC⊥平面ABC”转化为“平面BOE⊥平面PAC”，其“OB⊥AC”是连接两者的媒介. 从答题情况来看，我们除了心理上信奉坐标法外，还缺乏对条件“平面PAC⊥平面ABC”的深入思考，以及对平面与平面垂直判定定理和性质定理的理解，致使提取信息时思维通道被堵. 从统计中我们还发现，在平面POA内作出PH⊥OE，交OA于H后，有60%的同学在计算OH长时出现错误或思维发生障碍.