关于捷径的迷惑

张远南

有这样一个故事：

地理老师提问一个学生：“请指出从上海到广州距离最短的路.”学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道：“是一条挖通广州与上海的直线隧道.”

众哗然！

其实，从理论上讲，这位学生说得并没有错，那是根据平面几何里的一条公理：两点之间线段最短. 不过，生活在地球上的人类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面予以考虑. 这样，在上海与广州之间的最短路线，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆弧. 这段大圆弧约长1 200 km.

球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧.

上面的故事是人为杜撰的呢，还是真有其事，现在已经无从得知. 不过，抱有上述想法的，历史上可不乏其人！

大约在20世纪初，俄国旧都彼得堡出现过一本书名很怪的小册子，叫做《彼得堡和莫斯科之间的自动地下铁道》（一本还只写三章，未完待续的幻想小说）. 作者在书中提出了一个惊人的计划：在俄国新旧两个首都之间，挖一条600 km长的隧道，这条笔直的地下通路，把俄国的两大城市连接起来. 这样，“人类便第一次有可能在笔直的道路上行走，而不必像过去那样走弯曲的路”！作者的意思是：过去的道路都是沿着弯曲的地球表面修筑的，因而都是弧形的，而他设计的隧道却是笔直的！

不过，作者写书的主要意图不在于考虑两点间线段最短，而是这样的隧道如能挖成，则任何车辆都能像单摆一样，在两个城市之间来回移动. 开头速度很慢，后来由于重力的作用，车速越来越快；接近隧道中点的地方，达到了难以置信的高速，而后逐渐减速，靠惯性行进到另外一头. 如果摩擦力可以忽略不计的话，在地球上任何两个地方之间走完全程都只需42分12秒.

很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的短路程问题都可以用类似上面展开的方法加以解决. 图6和图7的圆锥曲面就是一个例子.

然而，并非所有的曲面都能展开成平面. 我们最常见的球面，其任何一个部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面. 这就是无论哪一种地图，总不可避免地要产生变形的原因. 没有一点畸形的地图根本不存在！这样，当你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象：图上画的航线几乎都是一条条弧线，这才是真正的球面短程线——大圆弧线. 而图面上看起来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线.

图8画出了连接非洲好望角和澳洲南部墨尔本港之间的两种航线. 看起来似乎更长的大圆航线只有5 450海里，而看起來笔直的斜航线却有6 020海里. 斜航线竟然比大圆航线长570海里，相当于多了约1 050 km. 由于地图的畸变，给人造成了错觉！

我们该怎么测定地球仪上两个城市之间的最短距离？为什么地图上两个城市之间的距离画线几乎每条都是弧线？这是由于地球的畸变还是我们的视觉出错？其实只要你认真研究便会发现，地图上的每条弧线才是真正的球面短程线……