空间几何体的表面积与体积

崔北祥

随着新课标高考对立体几何要求的降低，角和距离的考查在降温，空间几何体的表面积与体积问题被推到“前台”，越来越成为高考的热点.试题根植课本，追求创新，多以直观图，三视图，平面图形的折叠、展开与旋转为背景，给出“非常规”的几何体，重在考查转化思想和空间想象能力.

重点：了解常见几何体的体积公式和表面积公式；基本几何体中点、线、面的关系，特别是平行和垂直；掌握三视图和直观图的画法原理；另外要熟悉三个关系：一是三棱锥与四棱锥之间的转化关系；二是多面体与球体之间的组合关系；三是三视图与直观图的转化关系. 努力培养观察能力，寻求不规则几何体与规则几何体之间的联系，掌握必要的“割补”技巧，熟练空间与平面之间的合理转化，把握准确切入试题的角度.

难点：其一，怎样合理地选择底和高求几何体的表面积与体积；其二，怎样恰当地进行“割补”、平面到空间的折叠和空间到平面的展开.

一、求空间几何体表面积与体积的基本步骤

求空间几何体的表面积和体积的基本步骤是：先识图，根据题目给出的图形，想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系，比如由三视图想象直观图；再画图，根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要直观、虚实分明；接着要变图，对图形进行必要的分解、组合，对图形或其某部分進行平移、翻折、旋转、展开或实行割补，从不同的角度认识图形，选择不同的高和底；最后解图，明确目标三角形，解三角形求出图中的数量关系.

二、求空间几何体表面积与体积的基本技巧

（1）表面积和侧面积：空间几何体的面积有表面积和侧面积之分，在计算时要注意区分它们. 多面体的表面积是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

（2）高：在空间几何体表面积和体积的计算中都离不开“高”这个几何量（球除外），因此，计算表面积和体积的关键一环就是求出这个量. 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.

（3）分割：实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其中一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个体积转化为这些“部分体积”的和或差.

（4）补形：棱锥体常常补形为柱体，台体经常补形为锥体. 比如，球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，则4R2=a2+b2+c2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体（或其他图形），从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法.

（5）展开：在求几何体的面积时，经常要把几何体展开为平面图形，注意在何处展开（多面体要选择一条棱展开，旋转体要沿一条母线展开）.

（6）翻折：在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形（既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形）.翻折的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量. 一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化；翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化. 抓住不变量是解决问题的突破口.

（7）切接：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点或接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 球与旋转体的组合问题，通常通过作它们的轴截面解题；球与多面体的组合问题，通常通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图解题.