空间几何体的表面积与体积

崔北祥

重点难点

重点：了解常见几何体的体积公式和表面积公式;基本几何体中点、线、面的关系，特别是平行和垂直;掌握三视图和直观图的画法原理;另外要熟悉三个关系：一是三棱锥与四棱锥之间的转化关系;二是多面体与球体之间的组合关系;三是三视图与直观图的转化关系. 努力培养观察能力，寻求不规则几何体与规则几何体之间的联系，掌握必要的“割补”技巧，熟练空间与平面之间的合理转化，把握准确切入试题的角度.

难点：其一，怎样合理地选择底和高求几何体的表面积与体积;其二，怎样恰当地进行“割补”、平面到空间的折叠和空间到平面的展开.

方法突破

一、求空间几何体表面积与体积的基本步骤

求空间几何体的表面积和体积的基本步骤是：先识图，根据题目给出的图形，想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系，比如由三视图想象直观图;再画图，根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出的图形要直观、虚实分明;接着要变图，对图形进行必要的分解、组合，对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补，从不同的角度认识图形，选择不同的高和底;最后解图，明确目标三角形，解三角形求出图中的数量关系.

二、求空间几何体表面积与体积的基本技巧

（1）表面积和侧面积：空间几何体的面积有表面积和侧面积之分，在计算时要注意区分它们. 多面体的表面积是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

（2）高：在空间几何体表面积和体积的计算中都离不开“高”这个几何量（球除外），因此，计算表面积和体积的关键一环就是求出这个量. 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.

（3）分割：实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其中一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个体积转化为这些“部分体积”的和或差.

（4）补形：棱锥体常常补形为柱体，台体经常补形为锥体. 比如，球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，则4R2=a2+b2+c2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体（或其他图形），从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法.

（5）展开：在求几何体的面积时，经常要把几何体展开为平面图形，注意在何处展开（多面体要选择一条棱展开，旋转体要沿一条母线展开）.

（6）翻折：在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形（既要分析折疊后的图形，也要分析折叠前的图形）.翻折的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量. 一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化;翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化. 抓住不变量是解决问题的突破口.

（7）切接：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点或接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 球与旋转体的组合问题，通常通过作它们的轴截面解题;球与多面体的组合问题，通常通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图解题.

典例精讲

例1  如图1，在体积为2的四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面γ分别与直线BC，AD相交于点G，H，对于任意的平面γ，当G，H在线段BC，AD上时，则几何体AC-EGFH的体积是________.

思索  几何体AC-EGFH是不规则几何体，所以无法直接求出其体积，但由已知条件可知其体积等于四面体ABCD的体积减去平面γ下方部分的体积，而γ下方部分的体积等于四棱锥E-BGFD和三棱锥E-HFD的体积之和.

破解  因为EF过GH的中点，所以S△EFG=S△EFH，平面γ下方部分的体积为V下=VE-BGFD+VE-HFD，而VE-HFD=VD-EHF，故知VD-EHF=VD-EFG=VE-GFD. 又F是CD的中点，可得S△GFD=S△GFC，可得VE-GFD=VE-GFC，故V下=VE-BGFD+VE-GFC=VE-BCD= VA-BCD=1. 所求体积为2-1=1.

图1             图2

例2  如图2（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

思索  本题是求旋转体的表面积. 先注意以哪条线段所在的直线为旋转轴，旋转形成什么样的旋转体，此几何体哪些面“暴露”在外，画出直观图，合理地分割求出面积、体积.

破解  由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下的底面和侧面，以及一半球面. S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π. 故所求几何体的表面积为68π（cm2）. 由V圆台= ×[π×22+ +π×52]×4=52π，V半球= π×23× = π，所以，旋转体的体积为V -V =52π- π= π（cm3）.

例3  一个长方体经过切割后得到的几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积是（    ）

图3

A. 4  B. 4.5  C. 5  D. 5.5

思索  三视图“转译”为直观图时，对于题设中已经给出原立体图的类型或容易看出原立体图的类型的问题，一般可先由俯视图确定其底面的形状（通常情况下与其全等），再由正视图、侧视图及俯视图确定其他顶点的位置，以此可知本题是长方体上被切去两个三棱锥剩下的几何体，其体积不难求解.

破解  由三视图可知几何体如图4所示，是在原长方体中挖去两个三棱锥A-BCD，A-EFG，所以几何体的体积为V=V -V -V =3×2×1-2× × ×1×1×3=5. 選C.

图4          图5

例4  如图5，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置. 当∠CDE取何值时，三棱锥E-ABD的体积取最大值？并求此时三棱锥E-ABD的侧面积.

思索  本题是动态几何体问题，解题时注意推理证明：利用垂直关系选择好底和高，建立体积函数，不难求三棱锥的体积的最大值.

破解  设点E到平面ABCD的距离为h，则h≤ED=2. 易知BD⊥DE. 当ED⊥CD时，因为BD∩CD=D，所以ED⊥平面ABCD. 所以当∠CDE=90°时，h=ED=2，三棱锥E-ABD的体积取最大值. 此时ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AD，ED⊥BD. 在Rt△DBE中，DB=2 ，DE=DC=AB=2，S△BDE= DB·DE=2 . 在Rt△ADE中，S△ADE= AD·DE=4. 因为AB⊥BD，DE⊥AB，BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，所以AB⊥平面BDE，所以AB⊥BE. 因为BE=BC=AD=4，所以S△ABE= ·AB·BE=4.

综上，∠CDE=90°时，三棱锥E-ABD的体积取最大值，此时侧面积S=8+2 .

变式练习

1. 若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为（    ）

A.   B.

C.   D.

2. 某几何体的三视图如图6所示，正视图和左（侧）视图是全等的直角梯形，俯视图是正方形，则此几何体的体积为（    ）

A. 2   B. 4   C. 6   D. 8

图6

3. 如图7，在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（    ）

A.  πR3

B.  πR3

C.  πR3

D.  πR3

4.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图8所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于________.

图8

5. 如图9，已知在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BC=1.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆分别与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________.

6. 如图10，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在AA1，CC1上，且AE= AA1，CF= CC1，点A，C到BD的距离之比为3∶2，则三棱锥E-BCD和F-ABD的体积比为________.

7. 如图11，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径为9.

（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE;

（2）求三棱锥D-ABE的体积.

参考答案

1. B    2. B    3. A    4. 54

5.      6.

7. （1）略.

（2）因为CD⊥平面ADE，DE 平面ADE，所以CD⊥DE，所以CE为圆O的直径，即CE=9. 设正方形ABCD的边长为a. 在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9. 由81-a2=a2-9，解得a=3 ，所以DE= =6. 因为CD⊥平面ADE，AB∥CD，所以AB⊥平面ADE，所以VD-ABE=VB-ADE= S△ADE·AB= × ×3×6×3 =9 .