一道求不等式最值的解题探源

唐荣琼

摘要：通过对一道不等式求最值的探索，不仅能够更加清晰地认识命题思想，寻找命题的背景材料，追踪溯源，还可以开发试题的教学功效。通过对本试题的探索，达到对知识更深刻的认识。

关键词：不等式；最值；解题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0135

题目：设■b是1-a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为()

(A)1(B)2(C)3(D)4

解法1：运用方程思想

令a+3b=m，则a=m-3b，代入a2+3b2=1，有(m-3b)2+3b2=1，即m2+9b2-6mb+3b2-1=0。化简得12b2-6mb+m2-1=0。

这是关于b的一元二次方程，且有解，故△=36m2-48(m2-1)≥0，即m2≤4，所以-2≤m≤2，即a+3b的最大值为2。

评注：将求解的问题转化为方程处理，这是高中数学的一种重要方法。

解法2：运用(三角)换元的思想

令a=sinθ，■b=cosθ，即b=■cosθ(θ∈R)，代入a+3b，得a+3b=sin+■cosθ=2sin(θ+■)。由θ∈R，知2sin(θ+■)≤2，所以a+3b的最大值为2。

评注：换元思想的利用往往可以简化问题形式结构，降低问题难度。

解法3：运用待定系数法

2λ1a+2λ23b=2λ1a+2(■λ2)(■b)≤λ1＋a2+3b2+3λ2，当且仅当λ1=a，λ2=b时取等号，即2λ1a+6λ2b≤2，比较2λ1a+6λ2b与a+3b的系数，有λ1=λ2=a=b时上述不等式取等号。将a=b代入a2+3b2=1，得λ1=λ2=a=b=■

因此2λ1a+6λ2b≤2，即a+3b≤2，当且仅当a=b=■时等号成立。

评注：不等式问题处理的错误通常在于取等号条件的把握，等号取不到可能就是系数原因，于是选用待定系数法。

解法4：运用柯西不等式

观察题目结构发现与柯西不等式类似，于是利用柯西不等式：得■(aibi)2≤(■ai2)(■ai2)，(a+3b)2=(1a+■■b)2≤[12+(■)2[a2+3b2]，即(a+3b)2≤4，∴-2≤a+3b≤２，即a+3b的最大值为2。

评注：公式法使用的关键是观察问题的结构特征，选择恰当方式，利用结构合理的公式处理。

解法5：运用向量思想

构造向量 ■=(a，■b)，■=(1，■)，则■=■=1，■=2。由■·■=mncosθ≤mn，得■·■=a+3b≤２，即a+3b的最大值为2.

解法6：利用函数的单调性

由a2+3b2=1知，只有a＞0，b＞0时，a+3b才可能取得最大值。令b＞0，有b=■，∴a+3b=a+■。设f(x)=x+■, x＞0，则f ′(x)=1-■。令f ′(x)=0，解得x=■。

根据函数的单调性，当x=■时，f(x)取得最大值2。所以a+3b≤2，即a+3b的最大值为2。

评注：知识的前后联系有助于对知识的深刻认识，可以优化思维，培养思维的广阔性、灵活性和深刻性。

解法7：运用数形结合思想

由a2+3b2=1得a2+■=1，令a=x，b=y，则x2+■=1表示椭圆。

于是，原题转化为：若直线t=x+3y与椭圆x2+■=1有交点，求t的最大值。

如图1，易知直线恰好是椭圆的切线时，t取最大值或最小值。所以当方程组

x2+■=1t=x+3y只有一个解时，

t取得最值。将x=-3y+t代入x2+■=1，得12y2-6ty+t2-1=0，有两个相等的实根，故△=36t2-48(t2-1)=0，解得t1=2或t2=-2，所以a+3b的最大值为2。

评注：由数到形的交替转换，促成了不等式问题的更好解决。

解法8：利用等号条件成立作出猜想

從前面已经知道，当a=b=■时，a+3b取得最大值2。

∴(a-■)+3(b-■)≤(a-■)(a+■)+3(b-■)(b+■)=0，

∴a+3b≤2，即a+3b的最大值为2.

上述不等式成立的理由如下：

∵(a-■)(a+■)-(a-■)=(a-■)2≥0

∴(a-■)(a+■)(a-■)≥(a-■)，

同理：3(b-■)(b+■)-3(b-■)=3(b-■)2≥0

∴3(b-■)(b+■)≥3(b-■)

评注：这种思想方法是在对知识有相当深刻认识的基础上得到的。看似简单，其蕴含的思想相当丰富。

通过以上八种思想的处理，我们会发现数学中的很多知识都有着千丝万缕的联系，只要我们能够更多地去探索和思考，就会对知识的产生发展过程有更加深刻的认识。