分式学习中的数学思想

2014-04-29龙巨

新课程学习·下 2014年2期

龙巨

当新的教育理念不断深入并在课堂教学实践中有所成效时，身处教学一线的我们由衷地感到欣慰，但同时我们依然可见课堂教学中“穿新鞋，走老路”的旧的教学模式还不同程度的存在。课堂上高密度、大容量、题海战术等现象势必不利于学生能力（智力）的进一步提升与发展。为此我们在甚感忧虑的同时，不禁要反思我们的数学课堂应该给学生留下点什么？将来我们的学生可能对所学知识有所遗忘，但他们不能忘记的是——解决问题的思想与方法，这是最重要的。现将八年级数学分式一章的学习中用到的数学思想与方法作一归纳，与同仁们交流，以期给教与学带来帮助，以利提高。

一、类比思想

类比是根据两个或两类对象的某种属性相同或相似而作出的推论。类比的基础是比较，就两个或两类对象进行比较时，发现它们的相似或相同点。

在学习本章的过程中要不断地与分数的情形类比，以加深对分数知识的理解和运用，另外可类比列一元一次方程解应用题的方法来学习列分式方程解应用题。

例1.已知：x=-2，求（1-■）÷■的值。

分析：分式的化简求值可类比整式的化简求值的方法，分式运算顺序类比分数运算顺序。

解：原式=■.■=■

当x=-2时，原式=■=-■

例2：（1）阅读理解：符号“■”称为二阶行列式，规定的运算法则为■=ad-bc，例如：■=3×4-2×5=12-10=2；（2）请阅读理解，并化得下面的二阶行列式：■

分析：解决本题的关键是通过阅读题目，理解二阶行列式的运算法则，再利用其法则将（2）中的二阶行列式的运算转化为分式运算。

解■=a×1-■（a2-1）=a-■=a+（a+1）=2a+1

例3.据林业专家分析，树叶在光合作用下产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg，若一年滞尘1000 mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550 mg所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。

分析：本题考查分式方程的应用，根据“片数相同”这一等量关系即可列出分式方程求解。

解：設一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x-4）mg，依题意有■=■，求得x=22.

经检验：x=22是原方程的解且符合题意。

答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg。

二、转化思想

转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化抽象为具体……就是这种思想的具体应用。使许多问题一经转化就迎刃而解。本章中处处体现这一数学思想：（1）在判断分式有意义，分式的值为0的条件时，通常将其转化为一元一次方程来解决；（2）在计算分式的除法运算时，通常是将其转化为分式的乘法来完成；（3）在解分式方程时，通常是通过去分母，将其转化为一元一次方程来解。

例4.若■的值为0，则x的值为（）。

A.±1 B.1 C.-1 D.不存在

分析：分式的值为0的条件是分子等与0而分母不等于0，由此转化为方程来求解。

解：令分子│x│-1=0，∴│x│=1，∴x=±1，当x=1时，分母x2+2x-3=12+2-3=0，此时分式无意义∴x≠1，当x=-1时，分母x2+2x-3=（-1）2-2-3=-4≠0，此时分式有意义，综上所述，x=-1，故选C。

三、整体思想

整体思想是初中数学中常用的运算方法之一，它从问题的整体性出发，突出对问题的整体结构的分析与改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们的关联，进行有目的、有意识地整体处理。整体思想在本章中有着广泛的运用。

（1）用整体代入法求分式的值；（2）用整体思想变换分子、分母的位置，实现求分式的值的目的；（3）把n个式子作为整体参与整体变形。

例5.已知a+■=7，求a2+■的值。

分析：把a+■=7作为整体进行变形，构造出a2+■并求值，注意完全平方公式在分式运算中的应用。

解：∵a+■=7，∴（a+■）2=72

∴a2+2a·■+（■）2=49，即a2+2+■=49

∴a2+■=47