数学概念教学中的几点“关注”

张晓兵

思维是数学教学的潜在目的，思维教育是数学教学的核心，数学问题的解决最终是通过思维实现的. 思维继续和发展着感知和记忆表象的认识功能. 在数学学习中，几乎每一个环节都需要思维. 在数学概念教学中，逻辑推理占据了最重要的一个部分，关注概念教学中的起点、要点、关键点，合理训练学生的思维，提升他们的思维品质，都是我们需要着力思考和解决的问题. 笔者以“二次函数解析式的确定”为例，谈谈数学概念教学中的几点关注.

一、关注起点

关注起点，需要关注设计编排的浸润状态，关注的是学生如何获取内容，在设计编排的浸潤状态中，学习内容应该是以整合的、相互关联的方式向学生呈现的，提供的经验中包含选择和整体感.

对于用待定系数法求函数解析式的方法，同学们在研究一次函数解析式和反比例函数解析式的确定时已经涉及并能够熟练应用. 遵循“学生会的，教者不教”，在课堂的开始，教者让学生直面要研究的对象：“请根据你的学习经验说说你如何用待定系数法求二次函数解析式. ”这时学生通过思考积极回答问题，总结出了先判断函数类型，再设合适的含有待定系数的函数关系式，寻求合理的对应关系，构建方程或方程组，进而确定二次函数解析式. 这时教者进而提出：“二次函数解析式有三种形式，你如何选用合理的关系式呢？”此时学生们纷纷发言，积极补充，明确了三种关系式各自适用的情境，教者及时给出了学习建议“关注特征，合理选择”.

二、关注能力

关注能力，需要关注学生的放松性警觉. 放松性警觉保证了学生在一种安全的情境下受到挑战，学生的学习能力获得提升，思维品质得到进一步巩固.

运算能力是数学学习中重要的基本能力，它贯穿于学生数学学习的全过程. 教者常常会发现学生能够想到这个数学问题如何解决，但就是得不出正确结果，很多时候就是因为运算能力不过关造成的. 所以教者应该在概念教学的始终都应见缝插针地训练和提升学生的运算能力.

在学生明确了如何用待定系数法确定二次函数解析式后，教者及时抛出一个小题组，分别让学生设一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式，并对如何应用技巧提升运算效率进行了点拨. 在后续的练习中，学生掌握了一定的运算技巧，运算速度和正确率大幅提高. 所以适时适当地点拨指导让枯燥的数学运算也有一些魅力，具备一定的吸引力，在学生边运算边思考“如何算得更快更巧”时，已不知不觉提升了自己的运算能力.

三、关注变化

关注变化，需要关注学习过程中的积极加工. 积极加工是指“学习者通过一种对个人有意义的以及概念上一致的方式巩固和内化信息. 它是通向理解的唯一途径，而不仅仅是为了记忆. ”

数学是强调变化、强调思维的学科，教者就应在概念教学中有意识地关注变化并适度加入概念的变式应用. 一题多解、一题多变是数学变化研究时常用的方法.

在同学们初步掌握应用待定系数法确定二次函数解析式之后，教者给出了三组变化.

第一组变化——法变. 例：若抛物线y = ax2 + 2x + c的对称轴是直线x = 2，且函数的最大值是-3，求 a，c.同学们通过观察思考，寻找出题目中的隐含条件——顶点坐标（2，-3），进而发现既可用顶点坐标公式求解，也可设顶点式求解.

第二组变化——法变形变. 例：抛物线过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点，求此抛物线解析式.同学们发现可用一般式或者交点式求解，但是用交点式比较简单. 这时教者让同学们继续观察判断，还有没有特征点. 借助于抛物线的轴对称性，学生很快就发现（1，-5）这个点是顶点，所以也可用顶点式. 此时教者没有停下研究的步伐，改变了题目中给出的三个点，问题发生了形变：“抛物线过（-1，10），（3，10），（1，-5）三点，求此抛物线解析式.”学生用刚刚获得的经验，很快可以发现（1，-5）这个点仍然是顶点，进而设顶点式. 教者没有满足于现状，为了进一步加深对概念的理解，形再变：“根据表格中的数据，求函数解析式. ”学生观察表格中的数据，发现（1，-5）这个点仍然是顶点，还可设顶点式，再另选一对对应值代入即可.

第三组变化——形变而神未变. 例：抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，-2），求此抛物线的解析式.学生思考后发现借助于抛物线的轴对称性，得到抛物线与x轴两交点到对称轴直线x = 3的距离都是2，从而写出这两个交点分别是（1，0）和（5，0），问题得解. 这时教者及时推出形变：“抛物线与直线y = 3两交点间的距离是4，且顶点坐标是（3，-2），求此抛物线的解析式.”借助于原题的研究，运用类似的方法同学们很快就找到了思路. 思维的通畅让同学们有了更多的跃跃欲试，教者适时推出了形变神未变：“抛物线与x轴交于A，B两点，AB = 4，对称轴为直线x = 3，顶点为点C，且S△ABC = 4，求此抛物线的解析式.”同学们纷纷提出自己的见解，在生生互动中，同学们发现这个问题中的顶点可能在x轴上方，也可能在下方，所以是多解问题，解题时容易漏解. 为了进一步拓宽同学们的思维，教者又提出形变而神似的问题：“抛物线与x轴两交点的距离为3，且经过点（2，8）和（0，-4），求此抛物线的解析式.”经过师生互动，学生发现仍然是抓住对称性，明确两交点间的关系，可设左边的交点坐标为（x1，0），可设函数关系式为y = a（x - x1）（x - x1 - 3），然后把其余两点坐标代入即可解决问题.

通过这三组变化，同学们的思维得到了锤炼和提升，也明确了自我研究、自我拓展的方向. 由于这样的变化，学生对概念的内涵、外延有了更深的认识和体会，也明确了学习研究的方法，学习能力得到了较大的提升.

【参考文献】

[1]郭思乐.教育走向生本[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]雷纳特N凯恩，杰弗里·凯恩.创设联结：教学与人脑[M].吕林海，译.上海：华东师范大学出版社，2004.