定积分教学的一种新方法

田祥　李全忠

【摘要】定积分是高等数学中最重要的内容之一，本文以史为鉴，对定积分概念和N-L公式的教学进行了一种新的尝试，引导学生逐步认识到定积分发展的轨迹，体会到数学的魅力.

【关键词】无穷逼近；穷竭法；定积分

一、定积分教学中存在的问题

定积分的概念和N-L公式是定积分教学中的重点和难点，但传统的教学方式存在一定的不足.

首先，关于定积分概念的教学，大部分教材是通过“分割，近似替代，求和，取极限”的方法求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程来导出定积分概念.这个过程对近似替代和取极限两个关键步骤中的处理过于简单，导致学生对定积分概念中两个“任意”和极限的唯一性等提法的合理性缺乏感性认识，还有该过程对定积分中蕴含的“无穷逼近”数学思想展现得不够.

其次，关于N-L公式的推导，大部分教材利用原函数存在定理推导出N-L公式，该过程将主要精力放在了证明原函数存在定理上.对于非数学专业的学生来说，这样处理增加了学生的负担.

二、定积分教学的新方法

定积分起源于求平面图形的面积和其他一些类似的实际问题.例如，古希腊数学家阿基米德利用穷竭法求出了圆的面积，我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想.德国数学家莱布尼茨用dy表示曲线上相邻点的纵坐标之差，用∫dy表示所有这些差的和，明确指出：∫意味着和，d意味着差，从和差的互逆关系可知∫和d的互逆关系，揭示了积分和不定积分深刻的内在联系.历史上数学家们的这些朴素的想法，更贴近学生的认知规律，极具教育上的价值.

笔者通过长期的教学实践与摸索，结合这些想法，打破常规思路，超越现行教材中的讲解顺序，对定积分教学进行新尝试.

（一）利用穷竭法，展示定积分中“无穷逼近”的思想

1.教学过程

2.教学意图

（1）通过特例，让学生认识到不规则图形的面积可以通过规则图形的面积来逼近，深刻体会“无穷逼近”思想的魅力和威力.

（2）让学生认识到，特例中逼近方法依赖于圆的特殊结构，由特殊到一般的过程，使学生看到方法的演变与发展的轨迹.

（二）归纳总结，导出定积分的概念

1.教学过程

（1）提出用任意分割底边和用小区间上任意点的函数值作高的小矩形面积和的极限limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi都可以表示由连续曲线y=f（x）（f（x）≥0）和x轴以及x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积.

（3）将曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个问题归结为求“非均匀分布总量的问题”，且类似的问题都可以这样处理.

（4）给出定积分的概念.

2.教学意图

（1）由于特例的演示，学生对定积分概念中两个“任意”和极限的唯一性等提法的合理性便有了充分的感性认识，容易接受得多了.

（2）让学生既认识到定积分所能解决问题的特点及解决该类问题的思路，又认识到提炼出定积分概念的必要性，为定积分的概念的引出做了充分的铺垫.

（三）启发探究，发现和证明N-L公式

1.教学过程

2.教学意图

这个证明吸收了莱布尼茨用dy表示曲线上相邻点的纵坐标之差，∫dy表示为所有这些差的和的这个想法，证明过程中只用了定积分的概念和拉格朗日中值定理，过程简单明了，易于接受.

三、结束语

该教学采用探究性的教学方法，以定积分的历史发展脉络为主线，从学生熟悉的问题入手，从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，逐步揭示了定积分概念和N-L公式的内涵和外延.该教学方法容易让学生对数学产生亲近感，使学生从以前的被动学习演变为现在的主动思考.注意这个教学方法并不一定适用于数学专业的学生，但可以让非数学专业的学生充分理解定积分的思想，达到数学素质培养的目的.