定积分的等价定义及其应用

【摘要】传统定积分的定义难度较大且过程复杂，应用价值也较低.基于应用目的，本文以内涵先导方式给出了定积分的创新定义，且将这一定义命名为牛顿—莱布尼兹定义.对于两个定义的关系文中采用独特方法给出了详细论证.与传统定义相比创新定义具有简洁、实用的特点，对于提高教学质量意义重大.

【关键词】高等数学；定积分；牛顿—莱布尼兹定义；等价定义

高等数学是一门重要的基础课，与其他学科相比具有多层次的教学特点，有本科、专科，有文科、理科、工科，还有高职以及成人教育等.然而不管何种层次，定积分的教学都千篇一律地采用分割、做积、求和、取极限的传统定义，因而会出现某些意想不到的问题.据调查，对于什么叫作定积分的问题，几乎都以定积分的基本计算式作出回答.如以式子∫ b af（x）dx为内涵给出定积分的定义更具合理性和实用性，并且可以直接导入重点.高等数学建立概念的方式通常有两种.第一种是由具体事物到一般规律，或者说由外延到内涵；第二种是由一般规律到具体事物，或者说由内涵到外延.不妨称第一种为外延先导式概念，而第二种为内涵先导式概念.传统定积分的概念就属于第一种.在举出两个实例之后给出定义.

定理2说明了当函数f（x）连续时，在闭区间[a，b]上传统定义与牛顿—莱布尼兹定义具有等价关系.因此，我们完全可以以定义2作为定积分的定义.两个定义各自具有不同的特点，定义1着重在方法上，具有抽象性的特点，适合于理论研究；而定义2着重在计算和应用上，具有创新、简洁、实用的特点，两者在教学时间和难度上存在较大差距.不同层次的学生其基础不同，思维能力不同，教学特点也不同，因此需要采用不同的定义方式，以利提高教学质量.

【参考文献】

[1]王化久.数学[M].北京：机械工业出版社，2002.

[2]同济大学数学系.高等数学及其应用[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]岳文宇.高等数学[M].沈阳：辽宁科学技术出版社，2013.

[4]韩群，宋立温.新编高等数学[M].北京：冶金工业出版社，2009.