从专业数学角度谈数学学习

王选

【摘要】

数学是一门基础的自然科学.本文从大学专业数学角度谈论了数学学习.结合自身的学习实践，以数学专业实、复变函数论、代数学、拓扑学等基础课程为基础，从数学概念、数学各个科目之间的联系和本质、数学方法三个方面给出了数学学习过程中应当注意的一些方法和技巧并提出了几点建议.

【关键词】专业数学；数学学习；学习方法

一、数学概念是基石

要想学好数学，首先要了解数学的本质是什么——对定义、定理、概念的理解.概念是数学的基石.究其原因是，数学是一门以公理化定义的学科.所以学习概念包括定理和性质，不仅要知其然还要知其所以然，许多同学只注重记概念而忽视了对其背景的理解，这样是学不好数学的.对于每一个定义、定理，我们必须在牢记其内容的基础上还应该知道它是怎样推导出来的，更为重要的是运用到何处的，有时有必要借助习题把一些抽象的概念具体化来帮助我们理解，只有这样我们才能更好地运用它来解决问题.

二、掌握数学各个学科和方法的本质

在把握了各个学科的基本概念之后，还需要我们能从全局角度把握它们之间的主要内容以及它们之间的联系和本质，进而做到有的放矢.

对于数学专业学生来说，实变函数无疑是一门很重要的基础学科.实变函数主要介绍一种新的积分理论——勒贝格积分，研究定义在可测集上的可测函数的积分性质.那么到底什么样的集合是可测集呢？它的测度又是怎样定义的呢？什么样的函数是勒贝格可测函数呢？可测集上的可测函数又到底有哪些积分性质？很显然，一般的实变函数著作都是围绕它们各自成章节展开的.

点集拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质，复变函数主要研究解析函数的解析性质，而近世代数则主要研究群、环、域的：①存在问题；②数量问题；③构造问题.这也是研究任何一个代数系统所要解决的三个最基本最主要的问题，而一般的描述代数系统的著作也主要围绕这三个问题来展开论述的.

此外，解决数学问题所运用的方法的本质大多是相同的.根据数学理论知识知道五次及五次以上多项式的根没有显式表达式求解，因此对于这些高次多项式或者复杂的一元方程我们必须借助计算机近似求解，常用算法有二分法、弦位法、牛顿法，而我们在优化理论中，求解一元函数无约束极小化问题使用的也是这三种方法，显然它们的本质都是求解方程的根，只是后者求的是导函数方程的根而已.在优化方法中，求解多元函数的无约束极小化问题方法有最速下降法、共轭梯度法等等，在数值代数中，我们可以通过变分原理将系数矩阵为正定的线性方程组的求解问题转化为多元函数的无约束极小化问题，然后采用最速下降法或共轭梯度迭代算法来求解，而目前采用最多的是在此基础上发展起来的预条件共轭梯度法.显然这些理论方法的本质是相同的.

三、掌握数学学科之间的联系

数学各个科目之间是互相联系、彼此渗透的. 数学，其中很大一部分理论都是在研究函数、映射.比如数学分析中主要研究函数极限、连续性、可微性、可积性，以及初等函数在其收敛域内的泰勒级数、傅里叶级数展开式.还有高等代数里的线性变换，近世代数里的同态、同构映射，复变函数论里讨论的解析函数，实变函数论里讨论的可测函数，泛函分析理论里所讨论的泛函和算子等等，研究对象都是函数或映射.

再来看看函数的研究对象：集合.集合论也是数学理论中最基础的部分，在一般的高等代数、实变函数、概率论著作中都有有关集合论知识的独立章节，无非就是谈元素与集合之间属于、不属于关系，集合与集合之间的相等、包含、互斥的关系以及集合之间的并（可列并）、交（可列交）、差、余（补）四则运算及其运算规律.另外有关点集的分类，即有关聚点、内点、外点、孤立点、开集、闭集、导集、闭包的理论.在数学分析中，它们是二维平面上完备性理论的基础；在拓扑学中，可以用开集、闭集、导集、闭包对函数连续性做等价刻画；在实变函数中，集合可测性以及可测集的测度都是借助于包含它的开集测度的下确界（外侧度）与包含于它的闭集测度的上确界（内测度）来刻画的.因此，我们在学习的过程要把握各个学科之间的这些相同的最基本的概念理论.

除了这些基本概念相同之外，学科之间的理论体系也密切相关.如数学分析主要研究实数域上初等函数的导数、积分、级数的基本性质，而复变函数则研究复数域上函数的这些基本性质.近世代数是高等代数的进一步抽象，高等代数是近世代数的一个雏形.这样我们就可以通过下面类比的数学方法更轻松地掌握这些理论知识.这些都说明数学各科目之间是彼此相互联系、互相渗透的，只有把握各科目之间的联系，才能更好地学好数学.

四、数学的学习方法

除了了解数学的本质以及数学各科目之间的性质特点之外，要想学好数学还应该掌握常用的数学方法：

1.类比方法：在概率论中，概率有非负性、单调性、半可加性、完全可加性，而实变函数里可测集的测度的非负性、单调性、半可加性、完全可加性显然可以等价类比过来.

在数学分析中，在给出了无穷大反常积分的敛散性的定义和积分收敛的判别方法后，无穷级数敛散性问题不也可以这样类比地学习吗？实际上无穷大反常积分与无穷级数实质上是同一个问题的不同表现形式，无穷大反常积分是连续的求和，而无穷级数则是离散的求和.

2.推广方法：在高等代数里面通过线性空间的子空间来推测整个线性空间的性质，在近似代数里面通过子群、子环来推测整个群、环的性质.这些通过部分来推测整个代数系统，将整个系统不断细化的方法在数学中经常运用.

4.等价、同构的方法：利用等价关系可以根据一个代数系统的性质推测另一个代数系统

的性质，将这个代数系统里的元素进行分类，当所讨论的两个对象等价或同构时，那么它们之间的元素并不只是单纯地建立了一个一一对应的关系，更重要的是，它们之间具有完全相同的代数结构和性质，唯一的区别只是各自在表现这些性质时所用的载体不同.

5.数学还遵从从简单到复杂，从一维到多维，从有界到无界，由浅入深，循序渐进的思维模式.以勒贝格测度理论为例：先讲一维空间开集、闭集的构造，通过开集的构造引进开集的测度，再借助开集的测度来定义闭集的测度，然后利用开集、闭集的测度去定义任何有界集的外测度与内测度，直到有界可测集的测度，最后将有界集的测度推广到无界集的测度，将一维空间点集的测度推广到多维空间点集的测度，它们的本质是相同的，只是在细节上有所差异，无界集和多维情形显得复杂而已.

五、数学学习的建议

1.作为一名学生，是永远离不开课堂和课本的.新知识的接受、数学能力的培养，也主要在课堂上进行，所以一定要注意在课堂上的学习效率.而教材和课本永远是最好的参考书.对课堂上未完全消化的知识要及时复习，不留疑点，打好基础，再找一些课外的习题以帮助我们开阔思路，提高自己分析、解决问题的能力，掌握一般解题规律和基本技能.

2.学会总结和积累，在每个阶段的学习中都要进行整理和归纳总结.对于课本上的内容体系，我们要把知识的点、线、面结合起来，交织成网络，纳入自己的知识体系中.同时，还要积累一些做题和处理特殊问题的方法.例如，对于数学物理方程中具有球对称的三维波动方程的初值问题可以通过变量变换的方法将其转化为一维波动问题，而对于未知函数不是球对称函数的一般情形，我们就不能转化了，但是我们可以借助球对称的特例的启示，将每一点看作以该点为球心，半径无限小球的极限，通过这样的球面平均值处理，我们也可以将这种一般情形三维波动方程转化为一维问题. 对于课本上的内容，要做到随用随调，对于一些特殊的处理方法，要做到活学活用，以为前者是科研的基础，后者是方法.

3.众所周知，学计算机需要有良好的数学基础，而现在作为数学系学生，更应该懂得计算机，特别是一些常用的数学软件.工欲善其事，必先利其器，这里强烈推荐四款数学软件：Matlab、Maple、Mathematica，还有优化软件Lingo.其中Matlab以数值计算见长，Mathematica，Maple以符号计算和公式推导为主，Lingo软件可以解决大规模的优化问题.需要注意这些软件是建立在扎实的数学理论基础上的，只有当我们把基础打牢，才能够更好地借助这些软件工具帮助我们解决数学问题.