“教学做合一”：高三数学复习中的实践与反思

吴贞凤

摘 要：一段时间来，笔者在高三数学教学中践行陶行知先生的“教学做合一”理念，取得了一定的成效. 文章结合高三教学实践中的案例和片断，分别谈及怎样把握教学内容重难点、如何紧担教学重难点、怎样认识复习实践活动等内容，并对相关案例附有教后反思.

关键词：教学做合一；教学重难点；教后反思

一段时间以来，笔者在高三教学中践行陶行知先生的“教学做合一”理念，坚持让学生在“做”中“学”，在“学”中“做”，培养学生“求真知”、“做真人”，取得了一定的成效.本文结合相关案例或教学片断，基于“教学做合一”理念在高三数学复习课中的一些做法，阐释一些反思，与同行研讨.

■把握教学内容重难点，凸显教师主导地位，开展循序渐进的“教”

多年的高三教学经验使得我们知道，学生对应用题往往有恐惧与抗拒的心理，有“谈题色变”之感，这就需要在高三数学应用题的教学中，首先给学生树立信心，确定合理的教学目标，帮助学生突破难点. 以下结合“数列应用题”的章节复习课教学展开相关解读.

课前，笔者根据近年来高考试题命题中关于数列章节问题设置的内容，提出如下教学目标：

1. 能用数列有关知识解决相应的问题；

2. 了解“银行存款，森林木材，产量增减，价格升降，细胞分裂”等问题的内涵；

3. 培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.

在教案预设时，笔者挑选了下面这道例题：

例1 王某今年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率0.003375，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始还贷. 如果10年还清，那么每月应还贷多少万元？

教学时，笔者是这样处理的：先让学生弄懂这道题的意思，即让学生知道“分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款”，然后让学生作为这道题的主人，让学生去完成一件具体事情，接着引导学生从两个不同的角度分析这个问题.

角度一：让学生逐项归纳分析，理解前后相邻项的关系.

讲解：设每月应还贷x万元，共还款120次，设月利率为r，则：

第1次还款后还剩20（1+r）-x万元未还；

第2次还款后还剩[20（1+r）-x]（1+r）-x=20（1+r）2-x（1+r）-x万元未还；

第3次还款后还剩20（1+r）3-x（1+r）2-x（1+r）-x万元未还；

……

第120次还款后还剩0万元未还，即还款结束，即20（1+r）120-x（1+r）119-x（1+r）118-…-x=0；

将r=0.003375代入上式，即可求出每月还款数额约为0.202966万元.

角度二：我们暂不去甲银行还款，而是选择去乙银行存款，要求在乙银行“存款次数和在甲银行还款次数一样，假定存款利率和还款利率一样”，使得最后一次在乙银行存款结束后，乙银行里王某的存款恰等于王某要还给甲银行的所有金额.

讲解：设每次存款x万元，共存款120次，设月利率为r.

第1次存款结束后，银行有王某的存款x万元；

第2次存款结束后，银行有王某的存款x（1+r）+x万元；

第3次存款结束后，银行有王某的存款x（1+r）2+x（1+r）+x 万元；

…

第120次存款结束后银行有王某的存款x（1+r）119+x（1+r）118+…+x（1+r）+x万元.

此时，存款总金额恰等于需向银行还款数额，即还款结束，表达为：x（1+r）119+x（1+r）118+…+x（1+r）+x=20（1+r）120.

将r=0.003375代入上式，即可求出每月存款数额约为0.202966万元.

教后反思：通过这两方面的分析，问题很快得到解决，让学生感觉原来应用题也只是一只“纸老虎”，帮助学生克服害怕心理，在整个过程中，培养和提升了学生解决实际问题的能力和信心. 可见，教师在整个复习活动进程中所起的主导性作用不可忽视，他对学生的复习进程和效能起到决定性的指引作用，教师要发挥自身的主导作用，做好学生复习活动的引导和指导工作，根据教学要点和学生学习实情，开展各类教学活动.

■紧扣教学内容重难点，体现学生的主体地位，让学生开展有的放矢的“学”

“教学做合一”理念的根本目的，就是为了提升学生学习知识、解决问题的能力.高三数学复习课教学中，学生需要对高中数学知识内容体系有深刻的理解，对重难点有准确的掌握，才能有的放矢地开展“学”的复习活动. 而实现这一目标，就需要教师能够在教学中，引导学生对教学内容目标与要求，进行认真细致的掌握和运用，放手让学生尽情发挥，从而使学生在“知己知彼”中开展有效学习活动.

如在“平面向量”这个章节的复习中，笔者先引导学生自主建构“平面向量”章节知识体系，并请学生自己列举这个内容下的重点和难点，同时要求学生结合解题经验，找出平面向量的性质内容以及与其他知识点之间的联系，最后再跟学生一起结合典型问题、高频考题进行试题条件的分析活动，找出试题解答的思路和方法. 下面结合一个例题的教学来说明作为专业指导者，教师要在学生分析“卡壳处”发挥点拨和引导作用：

例2 已知O为△ABC的内心，AB=2，AC=2，∠BAC=■π， 若■=α■+β■，则α+β的值为多少？

对这道题，笔者先引导学生得出内心的定义及性质，引发学生思考，然后让学生分组讨论，待思考讨论成熟以后，每组推荐一人上台讲解，最后得出了这样一些较合理的、操作性强的方法：

法一：建系，A（0，1），B（-■，0），C（■，0），O（0，2■-3），■=（0，2■-4），■=（-■，-1），■=（■，-1），■=α■+β■，故（0，2■-4）=α（-■，-1）+β（■，-1），

所以-■α+■β=0，-α-β=2■-4，

所以α=β=■，

所以α+β=4-2■.

法二：■·■=α■2+β■·■，■·■=α■·■+β■2， 2×（4-2■）×■=4α+β×2×2×-■，2×（4-2■）×■=α×2×2×-■+4β，

所以α=β=■，

所以α+β=4-2■.

法三：■=α■+β■，■2=α2■2+β2■2+αβ■·■，

所以（4-2■）2=α2×4+β2×4+αβ×（-2），且α=β，

所以α=β=■，

所以α+β=4-2■.

台上的学生讲得绘声绘色，座位上的学生听得聚精会神，热情高涨，接着笔者又鼓励学生大胆想象，尝试变题，学生们思维活跃，发言积极踊跃，笔者顺势引出如下变式问题：

变式1：将“O为△ABC的内心”变为“O为△ABC的外心”；

变式2：将“O为△ABC的内心”变为“O为△ABC的垂心”；

接着再次小组合作、探讨交流，问题很快得到解决. （变题1的结果为2；变题2的结果-2）

最后笔者对各种方法稍作点评，整节课效果很好.

教后反思：众所周知，高三复习课时间紧、任务重，但笔者从不拘泥于一节课讲多少道题目，而是更加注重每节课的“含金量”，教者在长期的实践中发现：当我们尊重学生，从学生的思考角度出发，让学生尽情发挥，激发学生学习数学的热情与兴趣后，学习效果往往事半功倍. 显然，如例2的学习过程中，当学生提供的各种方法涉及其他章节的内容，教者对这种“出乎其外”（王国维语）的开阔思路及解法要及时表扬和鼓励，这对学生融会贯通学习数学作用很大.

■认识复习活动的实践特征，让学生实施行之有效的“做”

复习活动效能高低的重要衡量指标，就是学生对实际问题是否进行有效解答活动，并形成良好解题认知，这一活动贯穿了能力培养的教学目标以及学习技能的锻炼活动. 它是学生“学”和教师“教”双重作用下的互动表现. 同时，学生对典型问题，特别是综合性问题案例的行之有效的“做”，更能对学习素养和数学思想提升起到推进作用.

在这里，可顺便提及教材上这样一道题：

已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.

这题看上去很简单，没什么研究的，但在实际教学过程中，我们得到了丰硕的成果.

对原题，有学生直接得到A，B两点的坐标，配以勾股定理，很快得到结论；也有学生想起“遇垂直常想向量”，用“设而不求”思想，将直线与抛物线联立方程组，得到关于x或y的方程，利用韦达定理，很快得到答案.

笔者没有满足于学生答案的获得，而是引导学生“求取解答并继续前进”（舍费尔德语），接着我们引导学生观察直线AB的特点（过定点（2，0）），直线OA，OB的特点（均过点（0，0）），并增加如下追问：

追问1：三直线过定点的特性，与直线OA，OB的位置关系是否有必然的联系？

追问2：若直线OA，OB垂直，直线AB必过定点吗？

追问3：若在抛物线上任找一点P（不同于坐标原点），直线PA，PB与抛物线分别交于点A，B，且直线PA与PB垂直，直线AB过定点吗？

经过学生的分组讨论，小组合作，上面的问题一一得到解决，我们也实现了“做一题，会一类，通一片”的解题教学的追求.

教后反思：平时教学中，笔者很侧重于学生们的研题、变题训练，鼓励学生大胆探索，这一过程中，学生通过分析、解题活动，对化归转化解题思想有了清晰的认识，“做”的思想素养更加坚实.

■结束语

陶行知先生的“教学做合一”理念内涵丰富、博大精深，上文只是笔者结合高三数学教学过程中践行陶先生理念的一些做法和初步反思，笔者深知，这个方向才刚起步，认识还很肤浅，还有很多规律性的东西需要继续研究和明晰.