用几何画板探究圆锥曲线中的定值和定点问题

胡其振

摘 要：几何画板为解析几何教学中“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅可以绘制曲线，同时可以解决学生难以想象的一些几何动态问题. 笔者以几何画板为载体采用“观察—发现—猜想—证明”的探究模式探究圆锥曲线的一个定值问题和一个定点问题，其中定值问题是笔者一节探究公开课的片段.

关键词：几何画板；圆锥曲线；探究；定值；定点

定值问题

问题背景：（人民教育出版社高中数学选修2-1P41）例3 设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是- ，求点M的轨迹方程.答案是： + =1（x≠±5）.

探究一：已知椭圆 + =1（a>b>0），A（-a，0），B（a，0），点M（不同于A，B）为椭圆上的一个动点，试探究直线MA与直线MB斜率之积是否为定值？

（学生观察）

以椭圆方程 +y2=1为例进行探究，如图1，点M在运动的过程中，kAM，kBM的值分别在变化，而kAM·kBM=-0.25为定值.

（猜想）至此，学生心中已初步猜想到探究一中的直线MA与直线MB斜率之积为定值- ；

（教师）如何证明你们所猜想的结论呢？引导学生共同完成证明过程.

证：设点M（x，y），则kAM= ，kBM= ，

kAM·kBM= · = .

又因为 + =1，所以y2=1- ·b2=- ，

所以kAM·kBM=- （为定值）.

探究二：已知椭圆 + =1（a>b>0），直线AB过原点，与椭圆交于A，B点，点M（不同于A，B且MA，MB不与坐标轴平行）为椭圆上的一个动点，试探究直线MA与直线MB斜率之积是否为定值？

（学生实验）

如图2，通过移动点M和直线AB发现直线MA与直线MB斜率之积为定值，即kAM·kBM=-0.25.

图2

经过一番讨论之后，学生给出了探究二的证明方法.

证：（1）若直线AB斜率不存在，易证得kAM·kBM=- .

（2）若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=kx，

点M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

则kAM= ，kBM= ，

kAM·kAM= · =

= = = = .

又y2=- ，y =- ，所以kAM·kBM=- （为定值）.

综上述，k ·k =- （定值）.

探究三：已知双曲线 - =1（a>0，b>0），直线AB过原点，与双曲线交于A，B点，点M（不同于A，B且MA，MB不与坐标轴平行）为双曲线上的一个动点，试探究直线MA与直线MB斜率之积是否为定值？

（学生实验）

学生通过自己动手操作，如图3，易发现双曲线也有这个性质，并能得出结论为：kAM·kBM= .

图3

证明类似探究二，此处不再赘述.

（教师）哪些曲线具备这个性质？这些曲线有何共同的几何特征？

（学生归纳结论）答案是：圆、椭圆、双曲线；它们都是中心对称图形.

点评：传统的数学探究教学中，缺乏精确的作图工具，虽然手工作图很精确，但也很难呈现动态的几何图像；借助几何画板可以测量各种图形的几何量以及进行各种运算，在图形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，“以形助数”、“用数解形”，传统教学中无法办到，所以几何画板从这个方面来说，有效地激起学生的探究欲望，同时深化了学生对数学思想方法的认识.

定点问题

问题背景：已知抛物线y2=2px，点A，B为抛物线上的动点，且OA⊥OB（O为原点），证明：直线AB过定点Q（2p，0）.

探究一：已知抛物线y2=2px，点M（x0，y0）为抛物线上的定点，点A，B为抛物线上的动点且MA⊥MB，直线AB是否过定点？

如图4，连接OM，过点M作直线MP垂直直线OM交抛物线于P点，Q为直线AB与直线OP的交点，通过移动点A发现直线AB始终过定点Q，下面证明一般性结论：设点M（2pa2，2pa），A（2pt2，2pt），B（2ps2，2ps），其中a，t，s两两不相等.

图4

因为MA⊥MB，所以kMAkMB=-1，计算得

（t+a）（s+a）=-1，即ts+（t+s）a=-（1+a2）①.

直线AB的方程为：（s+t）y=x+2pts②.

①式两边同乘以2p，得2pts=-2p（1+a2）-（t+s）2pa，代入

②得（s+t）（y+2pa）-[x-2p（1+a2）]=0，

所以x=2p（1+a2）=2p+x0，y=-2pa= -y0，

即直线AB过定点Q（2p+x0，-y0）.

探究二：已知椭圆 + =1（a>b>0），点M（x0，y0）为椭圆上的一个定点，点A，B为椭圆上的两个动点且MA⊥MB，直线AB是否过定点？

如图5，作直线MS，MR分别平行于x，y轴，通过移动点B，容易发现直线AB始终过点定点Q（Q坐标始终不变）.

分步探究：（1）假设直线AB过定点Q，怎么求定Q点坐标？

如图6：过M点的切线l方程为： x+ y=1，因此过点M且与直线l垂直的直线l′的方程为：

x- y- x0y0=0①.

直线MS，MR分别平行于x，y轴，则S（-x0，y0），R（x0，-y0），

所以直线RS的方程为x0y+y0x=0②.

由①②得定点Q x0， y0.

（2）如图，探究二中的点A，B，若直线AQ斜率与直线BQ的斜率相等，则直线AB过定点Q.

设直线MA的方程：y-y0=k（x-x0），

联立y-y0=k（x-x0）， + =1得（k2a2+b2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x0=- ，

所以x1= ，

y1=kx1+（y0-kx0）= ，

同理得x2= ，y2= .

y1-yQ= - = ，

x1-xQ= - = ，

所以kAQ= = ，

同理可得kBQ= = .

综上述，直线AB过定点Q x0， y0.

探究三：已知双曲线 - =1（a>0，b>0），点M（x0，y0）为双曲线上的一个定点，点A，B为双曲线上的两个动点且MA⊥MB，直线AB是否过定点？

按照探究二的思路，可以得出：直线AB是定点Q x0， y0（其中a≠b）.

探究结论：已知圆锥曲线上一点M（x0，y0）（为定点），点A，B为圆锥曲线上的两个动点且MA⊥MB，则直线AB过定点.

点评：这里几何画板所提供的动态功能，给我们一种耳目一新的视觉感受，使我们可以直观地从图象的变化过程中去寻求图象的不变性质（定点），并从图形的动态变化过程中去认清数学的一些本质.

总结

数学具有抽象性，它的抽象性使得数学变得深刻，数形结合思想是非常重要的数学思想，数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.” 几何画板让学生从视觉上观察到直观具体的教学材料并诱发其直觉思维，从所呈现的动态的思维材料中发现和猜想假设，在变化中寻找不变，所以利用“几何画板”辅助解析几何的教学，有利于消除学生对解析几何复杂问题的惧怕心理，提高学生的想象能力，发展学生的抽象思维，形成全面的数学观.