职业院校数学三角函数诱导公式的课堂教学策略

盛媛媛

摘 要：职业院校三角函数部分最重要的公式就是三角函数诱导公式，所包含的公式非常多，而且比较复杂，传统诱导公式的讲解办法步骤多而且比较麻烦，学生对公式没有很好地进行分析和理解，那么解决这一问题的一个很好办法就是改变传统的三角函数教学模式，对三角函数诱导公式进行拓展，以便学生能够很好地理解。

关键词：职业院校；诱导公式；课堂教学模式；特点

所谓三角函数诱导公式从本质上来讲，就是将角n·（π/2）±α的三角函数转化为角α的三角函数。其通常使用万能推导公式、三倍角推导公式、和差化积推导公式来进行推导。无论在哪本教材中，三角函数诱导公式这一节所涉及的公式都是相当多。在许多参考书里共同提到了记忆诱导公式的统一口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。多少年来，参考书这么写，老师们这么教，长期以来我国三角函数诱导公式的教学过程都比较老套，主要是因为教材规定了教学内容，本文先从传统教学模式说起。

一、三角函数的本质分析

三角函数诱导公式具有周期性以及对称性，根据三角函数的定义可知任意角的三角函数值是由角的终边位置决定的，以360°为周期，任意角的三角函数值都能化为0～360°的内角的三角函数值。根据数学中对角的定义，任意角α终边和-α的终边关于x轴对称，π+α角的终边与α角的终边是反向延长的关系，π-α角终边与-α角的终边也是反向延长的关系。根据任意角的对称性以及周期性来对诱导公式进行理解就比较简单，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数。

二、传统教学模式分析

职业院校三角函数诱导公式的内容一般都是在上册部分，教学内容包括角α±k·360°（k是任意整数）、-α的诱导公式的学习和应用，在推导公式时通常借助单位圆、角定义以及角的三角函数定义等来进行推导过程教学，在学习完以后，教师通常是要求学生来求解任意角的三角函数值，以及包括任意三角函数式的化简证明等。职业院校的学生相对于普通高中学生来说，基础有些差，教师在讲解完以后，在记忆公式以及正确的使用方面感觉难度比较大。对于职业院校的学生来说，数学三角函数诱导公式多而复杂，在学习时往往没有什么积极性，因此在学习以及记忆公式时就难以使用正确的方法，教学效果往往不够理想，随着教学知识的不断深入，学生遇到的难度就越来越大。

如在对cos（- ）进行求解时，按照传统的解题方式，求解过程依照以下四个步骤：任意负角的余弦→正角的余弦→0～2π余弦函数→0～π余弦→锐角的余弦。也就是说利用诱导公式将cos（- ）逐渐转化为cos（- ）=cos（ ）=cos（ ）=-cos（ ）=cos（ ）来进行计算，整个求解过程比较繁琐，很多思维不够活跃的职业院校学生必然会感到十分困难。就第一步化负为正的步骤，在进行教学时，教师常常是把任意角α设为锐角来进行推导公式，而所讲的例子- 并不是锐角，不知能否利用公式cos（-a）=cosα來进行求解，往往还会出现质疑公式的现象。

三、扩展性的教学模式在三角函数诱导公式中的使用

针对以上学生遇到的问题，根据江苏省职业学校数学教材编写组编写的数学教材来进行教学，可以采用拓展法来进行诱导公式的学习，如关于-α、180°±α的诱导公式的学习中可以拓展为-α±k·360°、（2k+1）180°±α的诱导公式（k是整数），具体包括的公式（部分）如sin（k·360°-α）=-sinα；cos（k·360°-α）=cosα；tan（k·360°-α）=-tanα；sin[（2k+1）180°-α]=sinα；tan[（2k+1）180°-α]=-tanα；sin[（2k+1）180°+α]=sinα。这种扩展的教学模式能有效降低学习的难度，也能激发学生的学习兴趣，下文是解决问题的实施步骤。

1.公式的推导

本文所讲的扩展的教学模式同样也是沿用教材的推导方法来进行教学，同样需要借助单位圆、角的定义和形式等来进行推导，在进行公式推导的教学之前，教师与学生一起回忆一下这些定义。

对于k·360°±α（k∈Z）公式的推导，在直角坐标系中化一个单位元，把任意角α以及-α放在其中，以Ox轴作为始边，虽然是沿着原点进行旋转，但是角的终边仍然是关于x轴对称，k·360°-α与-α终边相同，所以k·360°-α的终边与α也是关于x轴对称。设定任意角α与k·360°-α的终边与单位圆的交点是P和P′，P和P′同样关于x轴对称，P坐标为（cosα，sinα），则P′的坐标就是（cosα，

-sinα），由于P′是k·360°-α的终边与单位圆的交点，所以坐标应该是（cos（k·360°-α），sin（k·360°-α）），因此可以得出cos（k·360°-α）=cosα，sin（k·360°-α）=-sinα，由于tanα=sinα/cosα，因此可以得出tan（k·360°-α）=-tanα。对于（2k+1）·180°±α（k∈Z）公式的推导，依照上面的推导方式，利用单位圆以及角的定义性质等进行推导，可以得出sin[（2k+1）·180°±α]=sinα；cos[（2k+1）·180°±α]=±cosα；tan[（2k+1）·180°±α]=±tanα。

2.公式的记忆

根据三角函数的定义可知，三角函数值的正负号是依照坐标来确定的，教师可以把任意角在四个象限的三角函数值做出一个表格或图表来增强学生的记忆，大致可以归纳为第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。除了标准化的记忆之外，最重要的是理解，拓展后的诱导公式本质上与原诱导公式是相同的，有了对k·360°-α（k∈Z）以及k·360°+α（k∈Z）所在象限的概念，教师再指导学生对三角函数值进行学习进一步归纳公式，就能很好的记忆公式。

3.诱导公式的使用

本文主要通过例子来讲解诱导公式的使用，如例一：求以下函数值cos（- ）、tan（-510°）、sin（ ），解析：把- 写为-6π+ ，6π是180°的偶数倍， 在第一象限，因此利用公式k·360°±α（k∈Z）就可以把cos（- ）转变为锐角进行求解cos（ ）；tan（-510°）中可以把-510°写成-3×180°+30°，-3×180°是180°的奇数倍，利用（2k+1）·180°+α的诱导公式就可以求解tan（-510°）；sin（ ）的求解，先把19π/4写为5π- ，5π是180°的奇数倍，可以利用（2k+1）·180°-α来进行求解。通过以上的分析过程，上述问题就可以这样来解答，cos（- ）=cos（-6π+ ）=cosπ/3= ；sin（ ）=sin（5π- ）=sin = ；tan（-510°）=tan（-3×180°+30°）=tan30°= 。

例二化简并求值：

（1） ；

（2） .

解析：585°写作3×180°+45°可以看做是180°的奇数倍加上一个锐角；690°写作2×360°-30°；495°可以写作3×180°-45°，因此，

= =

= = ；3π+α可以看做180°的奇数倍加上一个锐角，α+5π是第三象限角，4π-α與-α可以看做第四象限角，2π+α是第一象限角， = =-cosα.

综上所述，本文先以三角函数诱导公式的重难点为切入点，讲述传统的教学模式使用，说明传统教学模式存在的缺陷，重点讲述了扩展后的三角函数诱导公式的教学模式，教学实践证明，这种新型的教学模式，能使得学生更容易接受和使用，在解题应用时能够极大地简化过程，激发学生的学习兴趣。当然本文主要以江苏省职业学校数学教材编写组编写的数学教材来进行讲解三角函数诱导公式的，针对不同教材以及学生的发展特点，应采取合适的教学模式，更多的研究仍然需要教育工作者的继续努力。

参考文献：

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（作者单位 南京市公用事业技工学校）

编辑 孙玲娟