基于行为偏差的投资组合优化模型研究

陈亦然

摘要：本文利用效用最大化投资原理，提出了将行为偏差作为投资组合的影响因子，构建新的投资组合优化模型。基于展望理论下的行为偏差，利用构建的概率函数进行模型化，融入到效用最大化投资组合模型中，最终达到不同行为偏差下效用函数的最大化。

关键词：行为偏差；效用函数；展望理论

一、引言

Markowitz（1952）在定义传统的投资过程时，都以给定的风险承受程度、限制约束条件和金融目标来代入均值-方差模型来求最优解。但在实际的投资过程中会存在投资者的行为偏差影响理论投资。Tversky 和 Kahneman（1992）指出，投资者在获得投资收益时处于风险厌恶状态，而在投资亏时往往处于风险寻求状态，这就是所谓的不对称风险承担行为。同时，当投资者面临同样的投资收益时，投资者表现更多的是损失厌恶。Giorgi等 （2004）认为，投资者以展望理论为基础选取的投资组合和以期望效用理论为基础选取的投资组合在某些方面有所区别，主要在于：行为投资组合的投资分配主要依据投资者的自然心里偏好（情感偏差），即使这个投资组合的收益低于同风险水平下的最大化期望收益。简单而言，投资者最好的实际投资配置可能是一个稍微欠佳的长期投资，但投资者能够接受。从传统的投资组合角度分析，行为投资者的投资组合方式是随机的，但这并不意味着所有的个人投资者都是非理性的，不理性的仅仅是投资者把情感偏差作为影响因素来调整符合自己偏好的投资决策。

Tversky 和 Kahneman（1992）在展望理论中指出，个人风险偏好主要有四个方面：第一，心理账户，投资者仅以获利和损失来衡量资产；第二，损失厌恶，投资者在获得收益时会更加厌恶损失；第三，非对称风险偏好，投资者在损失发生时处于风险寻求状态，而在获利时处于风险厌恶状态；第四，概率权重函数，投资者在面对极端概率事件时，往往会高估低概率事件，低估高概率事件。尽管大量文献证实行为偏差与展望理论，但这些行为偏差在资产配置框架中还是很稀少。Barberis和Huang（2001）用损失厌恶和心理账户来解释股票定价中出现的行为偏差，但并不是把展望理论中的所有框架都考虑到优化投资模型中。

因而，本研究将把心理账户、损失厌恶、非对称性风险、处置效应和概率权重函数融入到投资组合优化模型中，来寻求符合投资者行为偏好的投资组合。

二、模型的建立

在我们的框架中，金融市场只有两个可交易资产：无风险债券和风险证券（具有正态分布的回报率假设下的证券资产）。投资者在投资过程中不允许卖空。同时，假定无风险资产的收益率Rf是给定的，风险资产的收益率是R=μ+σ·n，其中n～N（0，1）。投资者的初始资金为W0，且无其他收入所得。θ为投资风险资产的权重，（1-θ）为投资无风险资产的权重。

那么，投资组合的损失或者收益可以表示为

x=ΔW=（1-θ）Rf+θR（1）

Vlcek （2006）指出，区别于传统投资组合理论，投资者会根据自身心理偏好调整初始的投资组合概率函数，即p=f（x），定义其概率权重函数为π（p）。基于实证，投资者在调整结果的可能性时会存在高估小概率事件，而低估大概率事件。根据行为的差异改变初始投资比例的概率权重函数为

π（p）=（2）

其中，p=f（x），γ为调整因子

同时，Giorgi 等（2004） 也提出了价值函数，即

v（x）=λ+-λ+e-αx， if x≥0

λ-eαx-λ-， if x<0 （3）

其中，α是绝对偏好系数，λ->λ+>0使得价值函数在损失区域更为陡峭。

在投资过程中，投资者会选择一定的投资比例，使得期望效用V最大化。在给θ定值时，投资组合的总期望价值为

V=ν（x）π（f（x））dx（4）

三、模型的优化求解

投资组合模型的目标函数是

V=ν（x）π（f（x））dx

由于x=（1-θ0）Rf+θ0μ+θ0σn，则分别定义：（1-θ0）Rf+θ0μ=B和θ0σ=C，那么x=B+Cn，并且有x>0且n>-。

V=ν（x）π（f（x））dx

∴V=（-λe+λ）dπ（f（x））+（λe-λ）dπ（f（x））

∴V=（-λe+λ）dπf（n）+（λe-λ）dπ（f（n））

∴V=λ-（λ+λ）π（-）+e[λeπ（--aC）-λe（-aC）]

其中，edφ（x）=eφ（-aσ-z）。

={ae[λe×π（--aθσ）+λe×--a

θσ]}·θ

={aθσe[λeπ×（--aθσ）-λ+e-aθσ）-a（λ--λ+）π（）}·θ×π（-aθσ）]-a（λ--λ+）π（）}θ

具有以下属性。

（i）>0；（ii）σ=0或σ=∞時，=0；（iii）<0 for σ>0

最终，当风险资产的权重为θ*0时，价值函数V（θ*0）最大化，即

V=λ+-（λ++λ-）π（）+e[λ-eaBπ（--aC）-λ+eaB（--aC）

其中，B=[（1-θ*0）Rf+θ*0μ]，C=θ*0σ

四、实证结论

①假设当Rf=2.73%，μ=7.61%，σ=12.98%，γ=0.90，α=3，λ-=2.25，λ+=1时，如图1，θ*0=81%

②假设（i）成立时，且当θ0=50%时，改变μ，图1中其他变量恒定，如图2。

③假设（ii）和（iii）成立时，且当=50%时，改变σ，图1中其他变量恒定，则如图3所示。

根据以上数据和图示结果，可以说明行为偏差投资组合模型，存在以下结论。

一是期望效用V与风险资产的预期收益率μ的关系：V随μ的增加而增加。

二是期望效用V与风险资产的波动率σ的关系：V随σ的增加而减少。

三是风险资产的权重θ0与μ和无风险资产收益率Rf的关系：θ0随μ增加而增加，θ0随Rf增加而减少。当Rf高时，θ0随μ平缓变化；当Rf低时，θ0随μ陡峭变化。

五、结语

本文根据展望理论建立了一个一般均衡模型，把心理账户、损失厌恶、非对称风险承担行为和概率权重函数引入到投资者优化投资组合模型中，表明投资者在不同的投资标的下，由于行为偏差的存在，导致投资组合差异化的配置行为。长远的研究可以考虑，增加市场的风险资产数目。当引进多个风险资产时，心理账户是否在每项资产都要考虑，成为一个关键问题。

参考文献：

[1]Giorgi，E.，Hens，T.，Levy，H..Existence of CAPM equilibria with prospect theory preferences[A].National Centre of Competence in Research Financial Valuation and Risk Management[C].Working Paper，2004（85）.

[2]Barberis，N.，Huang，M.，Mental acco

unting， loss aversion， and individual stock returns[J].Journal of Finance， 2001（175）.

[3]刘鹏，张秀丽，史本山.基于展望理论的投资组合保险均衡研究[J].华东经济管理，2011（25）.

（作者单位：华南师范大学经济与管理学院）