期望效用理论浅述

【摘要】本文简要回顾了期望效用（EU）理论以及反映投资者风险偏好的具体效用函数形式，并给出了EU理论在单期投资组合优化中的简单应用，文章最后讨论了EU理论的缺点及Allias悖论。

【关键词】期望效用理论 效用函数 投资组合优化

发端于19世纪70年代的“边际革命”将经济学的研究对象从社会财富的创造转化为了对人的经济活动的边际效用分析。经济学被重新定义为“快乐和痛苦的微积分学”。以主观效用为基础的微观经济理论体系使经济学从马尔萨斯时代的“沉闷的科学”变为了“幸福的数理表达”。20世纪中期诞生的期望效用（Expected Utility， EU）理论将效用的分析从确定性环境带入了不确定性环境，成为了理性人在不确定性环境下的决策准则。

一、期望效用理论（EU）简述

（一）风险与不确定性

期望效用理论描述理性人在风险或不确定性环境下的消费（投资）选择。“风险”及“不确定性”二词在大多数情况下可以相互替代使用，但有些经济学教科书也讨论了二者间的细微差异。风险与不确定性均用于描述一个决策的后果由于缺乏充分信息而并非确定获知的情况。若一个决策是在风险下做出的，则意味着决策者能够列出该决策可能产生的所有后果及其相对应的可能性（概率）。如果一个决策是在不确定性下做出的，则意味着该决策产生的所有可能后果或其可能性是无法预测的。以统计学的观点来看，风险意味着决策者对于决策结果的概率分布是已知的，而不确定性则相反。所以从严格意义上说，EU理论讨论的是决策者在风险环境下的选择。

（二）效用函数与期望效用理论

微观经济学中，效用函数用于衡量消费者在不同消费束中获得的满足感。从任何消费束获得的效用取决于其对应的特定状态。比如人们从一把伞中获得的效用取决于当时的天气，晴天带伞对多数人来说是累赘，而暴雨天的一把伞却是大多数人的“救命稻草”。金融经济学中的效用函数U（w）则被用于度量投资者在不同财富等级上的相对偏好。效用理论第一次完整意义上的公理化发展来自于JohnvonNeumann和OskarMorgenstern（1944）提出的期望效用函数理论。此后，理论界普遍使用该理论为投资者的资产选择方式建模。将博彩定义为一项有风险支付的资产，一种特定的博彩方式可以被看作是一个概率有序集P={p1，p2，…，pn}，其中∑ni=1pi=1，且pi≥0。令>，<和～分别表示对不同博彩方式的偏好和无差异。如果投资者的偏好满足下面的五个公理，那么它们就可以用定义在给定博彩概率之上的期望效用函数V（p1，p2，…，pn）来表示。

1.完备性公理。对于任何两种博彩方式P*和P，只存在P*>P，

P*

2.传递性公理。如果P**≥P*，并且P*≥P，那么P**≥P。这表明理性人的选择具备逻辑性和一致性。

3.连续性公理。如果P**≥P*≥P，那么存在某个λ∈[0，1]使得P*～λP**+（1-λ）P。连续性公理表明理性的决策者不仅具备逻辑性和一致性，而且该属性（逻辑性和一致性）应该是完美的。

4.独立性公理。投资者关于两种博彩方式的偏好独立于其得到它们的方式，对于任何两个博彩P和P*，P*>P，λP*+（1-λ）P**>λP+（1-λ）P**。

5.单调或占优公理。令P1表示复合博彩λ1P**+（1-λ1）P*，P2表示复合博彩λ2P**+（1-λ2）P*，如果P**>P*，那么有P1>P2，当且仅当λ1>λ2。公理1、2、3描述理性人在确定性环境中的选择逻辑，与微观经济学中消费者理论的偏好公理完全一致。公理4和公理5则是对前三条公理在不确定性环境中的运用的扩展。

对于每一个简单赌局G={p1w1，p2w2，…，pnwn）|pi>0，∑ni=1pi=1}，其中W={w1，w2，…wn}为结果集。如果效用函数U（W）=U（∑ni=1piwi）=∑ni=1piU（wi），则称U（W）为vonNeumann—Morgenstern（VNM）期望效用（EU）函数。EU理论认为，假如决策者选择风险决策备择方案的过程符合上述五条公理，那么他一定是选择期望效用值最大的那项备择方案。期望效用值可以用备择方案的结果发生的概率与该备择方案所对应的效用值的函数来表示。期望效用函数在金融经济学里的一个重要作用在于它能够用于判断投资者的风险偏好。对于某个行为人，如果u[E（W）]>Eu（W）她是风险厌恶的，其效用函数具有凹性特征；如果u[E（W）]

常见的效用函数可归纳为以下六种形式：

1.负指数效用函数：u（w）=-exp（-rAw），由于rA（w）=-■=■=r■，该效用函数亦被称为绝对风险规避系数（CARA）不变的效用函数。

2.幂效用函数：u（w）=■W1■-rR■，由于rR（w）=-■·w=■·w=rR，该效用函数亦被称为相对风险规避系数（CRRA）不变的效用函数。

3.幂指数效用函数：u（w）=-exp（-βwα），α<0，αβ>0，rA（w）=-■=-■·αβwα-1，由此可推出■=■+αβ（α-1）w■<0，该效用函数具有递减的绝对风险规避（DARA）倾向。

4.对数效用函数：u（w）=ln（w），rA（w）=■=■，rR（w）=■·w=1由此可见该效用函数的投资者的绝对风险规避系数随财富的增加而减少，相对规避系数为常数1。

5.二次效用函数：u（w）=aw-■w■当w为一个随机变量时，期望效用可以表示为Eu（w）=aE（w）-■σ2w，因此该效用函数可以用收入的期望和方差表示。

6.双曲线效用函数：u（w）=■（a+■w）1-r，rA（w）=-■=■，该效用函数表面随着财富的增加，绝对风险规避系数将递减。

二、期望效用理论的一个简化应用

作为现代资产定价理论的基石，EU模型在投资组合优化中有着重要的应用价值。在金融经济学中，投资者的目标并非最大化自己投资组合的价值而是最大化投资组合产生的期望幸福感，换言之，投资者追求的是自身的期望效用最大化。因此做出最优资产组合选择的关键在于设计一个投资比例使其令该投资者的期望效用最大化。假设投资者的风险态度符合对数效用函数u（w）=ln（w）的描述，初始财富值为10000人民币。假定她有两种选择，投资x元于风险资产（如股票），则其留存的财富值投资于无风险资产（如固定收益证券）并获取5%的年化收益率。现考虑以下两种风险资产的单期损益情形，第一种情形下投资者的风险资产价值在一年后会增值50%变为1.5x； 第二种情形下投资者的风险资产价值在一年后会损失30%至0.7x。那么在上述两种情形下，投资者一年后的财富分别为

1.5x+（10000-x）（1+0.05）=10500+0.45x（情形一）

0.7x+（10000-x）（1+0.05）=10500-0.35x（情形二）。

假设两种情形发生的概率相等，则其期望效用可表示为

Eu（x）=0.5u（10500+0.45x）+0.5u（10500-0.35x）

=0.5ln（10500+0.45x）+0.5ln（10500-0.35x）

一旦得出期望效用函数的显性式，该投资者则可以通过选择风险资产投资份额x使其自身效用最大化。为此，我们仅需对上式一阶求导并令其等于0{1}，即

Eu'（x）=■+■=0

■=■

解得x≈3333.3，与之对应的期望财富E*（x）为10666.6，期望效用E*u（x）约为9.27。

在上一节中，我们简要回顾了效用函数的六种常见形式，了解到了对数函数的绝对风险规避系数随财富的增加而增加。相对风险规避系数为常数1，不随财富的增减而改变。下面我们通过本例来考察上述性质的直观含义。假设初始财富减少50%至5000，投资者的期望效用函数则可定义为Epooru（x）=0.5ln（5250+0.45x）+0.5ln（5250-0.35x），令

Epooru'（x）=■+■=0

解得x≈1667，与之对应的期望财富E*poor（x）为5333.35，期望效用E*pooru（x）约为8.57。假设初始财富增加50%至15000，则可定义投资者的期望效用函数为Erichu（x）=0.5ln（15750+0.45x）+0.5ln（15750-0.35x），令

Erichu'（x）=■+■=0

解得x=5000，与之对应的期望财富E*rich（x）为16000，期望效用E*richu（x）约为9.67。

由此可见，当初始财富减少50%至5000时，投资者的最优风险资产投资数额从3333.3减少到1667，降幅为50%。当初始财富增加50%至15000时，投资者的最优风险资产投资额从3333.3增至5000，增幅为50%。因此，在本例中，投资者初始财富的减少使其减少对风险资产的投资数额，初始财富的增加使其增加对风险资产的投资数额。此外，我们还发现，投资者对风险资产的投资增加（减少）比例恰好等于初始财富的增加（减少）比例，均为50%。以上结果印证了风险偏好理论的两条结论：令X为风险资产投资额，W0记为初始财富——（1）如果投资者的绝对风险规避系数随财富增加而递减，则随着财富的增加，投资者会增加投资于风险资产的财富数量， ■>0；（2）如果投资者的相对风险规避系数为常数，则随着财富的增加，她对风险资产投资的增加比例等于初始财富的增加比例， ■=■。

对比初始财富变化对期望财富与期望效用的影响，我们还发现■≈■=50%，■=

7.60%>■=4.3%。因此在本例中，初始财富增减相同的比例会使满足期望效用最大化的期望财富呈同比变动，但是其对应的期望效用的增减却呈现非对称变化——初始财富减少引发的效用损失远远大于初始财富增多引起的效用增加，这说明风险厌恶者从自身期望财富的增加获取的满足感远远不能抵消相同程度的期望财富减少对其造成的失落感。此外，初始财富增减带来的期望财富增减比例同样远远大于与之对应的期望效用增减比例，微观经济学中边际效用递减的规律在此例中表现地格外明显。

三、EU理论的缺陷

尽管EU理论自提出以来便一直被奉为理性人在不确定情况下的行动准则，然而正如两位创始人所言：“要把效用这个东西界定清楚并加以应用是非常困难的，要将其描述为一个数字则更为困难。”对EU理论的一个经典质疑当属Allias（1953）悖论。给定两组试验，每组试验包含两个选项，试验者面临的支付矩阵归纳如下

大多数受验人在面临试验一的时候都选择了拥有肯定收入的A选项，按照EU理论的逻辑，选择A选项的受验人在面临试验二的时候应该选择C选项，因为既然U（1，000，000）>0.10U（5，000，000）+0.89U（1，000，000）+0.01U（0），就能推出0.11U（1，000，000）+0.89U（1，000，000）>0.10U（5，000，000）+0.89U（1，000，000）+0.01U（0）即0.11U（1，000，000）>0.10U（5，000，000），然而实际情况却是大多数受验人在试验二中选择了D选项，这表明0.11U（1，000，000）<0.1U（5，000，000）。以上结果与EU理论中的独立性公理相矛盾，独立性公理认为人们对选项A/B与C/D的偏爱不应受到由0.89的概率所产生的共同结果值的影响。直观理解就是：如果两个行为的期望效用值的大小关系为Eu（A）>Eu（B），那么在这个不等式的两边同时加上共同的值对于原不等式依然成立。抛开人们行为上的选择偏差，从经济学的角度来考虑，独立性的公理之所以被违背还在于它忽略了商品间的互补性或替代性。比如对于一台任天堂3ds游戏掌机和一台索尼PSVita游戏掌机，笔者更偏好前者，但如果对于一台3ds加五盘PSVita游戏卡带的组合与一台PSVita加五盘同样的PSVita游戏卡带的组合，笔者肯定更偏好后者。

EU理论的另一争论点在于其假定决策者具有完全理性。在面临不确定环境时，决策者能够通过其掌握的信息，分析出每种可能的结果并计算出相应的概率。然而，在现实环境中，决策者受到自身心智的限制而很难在一个高度不确定环境下设想出各种行为后果，更缺乏对客观概率的估计能力。现实生活中，信息的搜集本身就具有高昂的成本，意图掌握完整的信息本身就是不理性的。此外，经济学家（Kahneman&Tversky 1979）还发现，当行为人同时面对两件对其财富产生损益的事件时，人们会单独衡量每一事件，并认为收益的重要性远远低于损失——哪怕两件事情的组合会增加他们的总财富。有鉴于此，Kahneman和Tversky（1979）用价值函数去代替传统的效用函数，将效用函数里唯一的自变量——财富，分解为收益与损失两个自变量，并使用主观决策权重去替代客观概率。

简言之，正如EU理论的批判者所说，现代主流经济学将行为人在不确定环境下的决策建立在期望效用理论之上，但大量的行为或选择悖论却证明建立在数理逻辑上的先验假设与现实中的行为人选择并不一致。但是，从经济学发展的脉络来看，期望效用理论的产生促成了金融学理论特别是资产定价和证券组合选择的大跨越。以期望效用理论为基础的传统金融学说至今仍保持着旺盛的生命力并被不断地修正与扩展以解释不完全信息及有限理性条件下的真实市场行为。

注释

{1}由于对数效用函数是凹函数，其二阶导数恒小于0，故其在定义域上存在最大值。

参考文献

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[6]Von Neumann，John and Oskar Morgenstern，Theory of Games and Economic Behavior， 3rd edition， Princeton University Press，1953.

作者简介：庹思伟（1988-），男，汉族，四川成都人，任职于成都龙腾小额贷款股份有限公司，研究方向：行为金融学，资本市场的理论与实践。