函数新干线

杜正穗

【摘要】函数是攻克数学知识体系的利器并一贯是中学数学的核心内容，但非常遗憾它也是学生感到最难学的内容，而且一直没有得到很好的解决。本文力求用有限的篇幅，通过例题，梳理解题思路，对函数知识进行综合性的、创造性的应用，以有效地激发学生的思维品质和学习潜能。

【关键词】函数 方法 思路

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0125-02

从20世纪初函数开始进入中学数学，德国数学家菲利克斯·克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，这足见“函数”的重要地位。其观点和方法贯穿高中代数的全过程，同时应用于几何问题的解决，由于其逻辑严谨性、抽象性、灵活性，学习中会给学生带来各种各样的障碍性问题，所以教学方面就必须做到科学化、具体化、形象化。

一、科学化

以函数为纲“纲举目张”—— 抓住了函数这个“纲”就能带动学习数学的“目”，以函数为中心进行分类学习，既可将其联系到一起又能对各章的特点、控制点运用自如：

若涉及三角形ABC中，用正弦定理或余弦定理配合转化成全部边长或全部三角分析即可。例4：已知△ABC中，角A、B、C分别对应边长a、b、c，且mc2=a2+b2，cotC=（cot A+cot B）×1006，求实数m的值，这道题学生会被未知数和复杂的结构吓住，对第二等式余切转化成余弦/正弦，利用正弦、余弦定理把所有角转化成所有边长整理得a2+b2=2013c2。由相对集中原则把第一等式代入得mc2=2013c2，就获得m=2013。如此通过少量的题目，掌握知识精髓是学生学好数学最重要的法宝。

3.数列（有规律函数）an=f（n），（n∈N+），以等差、等比数列这两种基本数列为载体，攻击通项、求和等内容。数列内容是方法运用型最典型的代表（公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、归纳法、并项法、递推法、对称法、类比法……），面对问题不局限于一种思路，而是善于灵活变通独自开启新思路，既要有缜密的数学思维，又要有主动探究、敢于猜想的创新精神，与實际生活联系编制适量新颖题和能力题，提高学生动脑、动手能力和创新思维能力。

4.解析几何（非典型函数）f（x，y）=0，利用曲线（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）定义进行线段与线段之间转化或把握点与点之间转移获得有效关系式，运用避实就虚策略可以避免繁琐的运算，突破难点。具体而言，避实就虚包括两个环节：（1）选择：选择合适的公式、合适的参变量、合适的坐标系等；（2）回避：根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，避免化简方程，求交点、解方程等复杂运算。如：点差法、设而不求都是具体回避措施。例5：设抛物线x2=3y上两点A、B 的横坐标刚好是方程x2+px+q=0（p和q为实数）的两个实数根，求直线AB的方程。解题中虚设二点A（x1，y1）、B（x2，y2）后，由x21=3y1且x21+px1+q=0相减得px1+3y1+q=0，同理px2+3y2+q=0，说明直线px+3y+q=0经过不共线的A、B两点就破题。

二、具体化

函数主线铺好后，必须控制好每个独立知识装备，通过反复磨练从而实现知识系统化，进而联系到实用性和实效性。以函数最值类似问题为例，主要进攻方式有（1）配方法（2）放缩法（3）性质法（4）几何法（5）换元法（6）判别式法。函数最值问题也是高中阶段难点之一，通过控制自变量范围，获取其单调性破解，也是结构不等式被攻克的有力武器。

1.主角：（1）配方法：针对一元二次结构进行攻击；（2）放缩法：针对单调不一致，范围与结构可协调进行攻击；（3）性质法：利用函数的灵魂单调性确定后进行攻击，其攻法几乎做到无坚不摧，只是有时比较繁琐，适度选用。以上三大方法是代数函数的顶尖武器，各有所长，也有共性。

三、形象化

图形是无声的语言，其直观性可使学生一目了然，重要性无疑不言而喻，在数学学习中，数与形的中枢纽带就是中场灵魂——平面向量。

“动弦别曲，叶落知秋”，“举一明三，目机铢两”——联系到解题，主要是指从题设中捕捉有用的信息而从局部的突破到整体的丰收，函数问题往往从不同角度创设或转换题目的设问方式，都能有效地考察学生的思维品质和学习潜能。