实际问题数学化

陈荔清

一、教材与考点分析

（1）地位和作用。人教版《数学》八年级（上）第14章“一次函数”的主要内容是一次函数定义表达形式及图像的性质，本章内容对学生而言是全新而陌生的，让学生由以往的常量关系发展到变量之间的关系，学生将在画图——探究——交流的活动中逐渐体会到数形结合是解决函数的基本方法。一次函数是基本且重要的函数，是学生今后学习反比例函数、二次函数等内容的基础，具有承上启下的作用。（2）考点分析。一次函数的表达式、图像及相关函数等内容，几乎为每年中考必考内容，对这部分内容的考查小到填空题、选择题，大到解答题、综合题，基础性强，涉及面广。所以我在教学中让学生理解一次函数基本概念基础上，掌握一次函数图像及性质，逐渐让学生达到数形结合的目的，让学生真正学有用的数学。

二、教学过程实录

1.数学教学内容的生活化。案例1，一次函数图像的应用。对于八年级的同学而言，函数的概念是一个全新而又陌生的，而图像的引入无疑让同学们感到“束手无策”。为了更好地让学生熟悉函数图像，达到数形结合的目的，此时函数图像的引入最好由实际情境意义下来完成。如图1，请学生结合图像说说《龟兔赛跑的故事》。一听讲故事，同学们个个跃跃欲试，因为学生熟悉故事内容，很快把生活中的行程问题与函数图像中的信息形成对应关系。

结合上面图1中的龟兔赛跑的故事，此时出示图2，图3，让学生结合图像对龟兔赛跑的故事进行新说，同学们此时参与的热情高昂，讲得的非常贴切。这时为了加深大家对函数的图像的深刻理解，我又出示图4，图5，让同学们根据图像来设计生活情境。这时的图与图1，图2形状一样。

只是纵坐标中S变为V了，这样把教学问题转化为生活问题，使学生忘却困难，勇往直前。故事情境本身所含的寓意能带来学生生活启迪，使学生对数学的学习知识充满渴望，当然此处也可趁热打铁引入乌鸦喝水故事，再结合图像来加深学生对图像的理解。

2.数学教学过程生活化。案例2：问题：周末到了，全家决定去郊外旅游，从家出发到郊外的路程S（千米）和经过的时间t（小时）的函数关系如图6，你能用解析式法表示这个函数关系吗？

问题2：如图7，全家8：00从家里出发，开车去郊外，然后由郊外开车返回家中，全家离家的路程S（千米）和所经过的时间t（小时）之间的函数关系如图所示。（假设运动都为匀速运动），你能从图像中信息重现全家的旅游过程吗？这个问题设计的背景是生活中常见的情景，并且几个问题能全面地包含课本教学要求下的内容和方法，其中有阅读图像，函数不同表示方法的转化等，而且这个问题具有开放性，这样问题的设问更能激发学生的创造力，使数学课堂生动而有活力。

3.实际问题变量关系的数学化。问题1：一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，则汽车所行的路程S（千米）关于时间t（时）的函数解析式？生：S=60t。师：你是如何得出这个关系式的？生：根据生活中S=vt。师：也就是说你是先有实际问题中的量与量的关系，然后再将其符号化来得到的，那这个函数关系式中自变量和函数分别是什么？生：自变量是时间t，路程是S是t的函数。问题2：等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰为x，求y关于x的函数解析式。师：你能否借助图形，找到一个变量之间关系？生：周长=2×腰长+底边长。师：再将上述等式中的文字符号化能得到什么？生：10=2x+y。师：这个式子是否为所求出函数解析式？生：不是，应变形为y=10-2x。师：那归纳一下，在实际问题中如何去求函数解析式？生：要从实际问题中抽取出一个等量关系式，再将其数学符号化，即用字母或数字表示等量关系，然后关系式变形为函数关系式。师：上述几个问题中自变量取值范围有要求吗？生：只要求自变量t>0和x>0，因为它们实际要有意义。师：问题2中x>0就可以了吗？（此时学生一阵安静思考）生：问题2中x取值0

4.问题解决及归纳小结中，更突出问题生活化和数学化之间的互化。师：想一想，这节课的学习中同学们收获了什么？生：利用函数图像可以把生活中的问题数学化，求出数解析式时；又可以利用数学的等量关系解决问题。师：通过本节学习，你觉得如何看待数学问题的数学化和生活化的互化呢？生：主要是数学化，其过程是先阅读理解后寻找等量关系，再通过数学的方法或工具解决数学问题，其中包括函数图像，函数表达式及自变量取值等。最后，回归到实际问题，生活化特别是针对于函数的图像是一种单一呆板的，但其中蕴藏丰富多彩的生活问题，让学生兴趣于探究。并通过对课内知识的延伸与拓展，将抽象知识学习过程转变为实践性，开放性的学习过程。

三、教学建议

一次函数、分段函数图像及应用的教学：首先本节教学以轻松愉悦的寓言故事激发学生学习一次函数图像的兴趣，从而为学生学习一次函数图像的应用增强信心，這部分内容变化中，学生审图时一定要关注坐标系中横纵坐标所表示的项目，分析图形是重点，理解图像并应用于实际是难点。通过例题讲解，应让学生注意以下几点：（1）一次函数图像虽然是一条直线，但与实际情景结合时一定要注意自变量的取值，并且在自变量取值上所对应的图像，表示的意义。（2）确定函数的解析式方法是待定系数法，解析式一旦确定，只要知道其中一个变量的值就可求另一个变量的值，相对的图像上的点是横坐标知道则纵坐标随之确定。（3）实际问题函数化过程中，学生们感到抽象的最大理由是生活中的等量关系捕捉的经验不足，造成学生由语言化到符号化之间的过渡有难度，从而也使一些同学对一次函数应用产生困惑。教学时多提供一类生活中问题的分析及符号化的结果来拓展学生的数学学习思维。（4）本节主要是初步学习分段函数的知识以及在解决相对复杂问题中进一步体会数学建模的基本思想与具体做法，在分段函数学习中，由于学生在函数表达式的学习中接触了它的图像，建立知识的联系，所以教学中通过对其解析式与图像待征的分析比较，从而建立对分段函数的完整认知，并纳入原有认知结构。

参 考 文 献

[1]朱慕菊主编.走进新课程[M]

[2]傅道春主编.新课程中教师行为的变化[M]