利用MATLAB辅助数学分析教学

赵媛 崔占豪

摘要：Matlab是一款功能强大的科学计算软件，本文分别举例介绍了它的绘图、数值计算以及符号计算功能在数学分析教学中的应用。利用Matlab辅助教学，可以使数学知识直观生动，加深学生对知识的理解和掌握，激发学习热情，更有助于提高学生的实践能力和创新能力。

关键词：Matlab 数学分析 绘图功能 数值计算 符号计算

数学分析是理科院校数学专业的一门重要基础课，它为学生学习后续其他专业课程提供了基本的数学知识，但在传统数学分析教学中，内容抽象，过于注重数学的严密性、逻辑性，容易使学生产生畏难情绪，不易激发学生的学习热情。Matlab是一款功能强大的科学计算软件，它集图形处理、数值计算和符号计算等功能于一身，语言简单，界面友好，扩充能力强，在各国高校和科学工程领域有着广阔的应用前景。利用Matlab软件辅助数学分析教学，可使数学分析抽象的理论可视化，加深学生对基本概念及理论的理解，提高学生的学习兴趣。下面举例介绍其在数学分析教学中的一些应用。

1 Matlab绘图功能在数学分析教学中的应用

在数学分析教学中，常常遇到立体图形，借助Matlab绘图功能，可以快速绘出准确美观的图形，既能提高教学效率，省时省力，又能培养学生的空间想象能力。

例1 求螺旋线x=2costy=2sintz=3t （0≤t≤6π）的弧长。

题中给出了螺旋线的参数方程，在求弧长之前，我们先模拟出这条空间曲线，这样做可以使学生们对螺旋线有深刻的认识，并加强他们的空间想象能力。

Matlab编程如下：

ezplot3（′2*cos（t）′，′2*sin（t）′，′3*t′，[0，6*pi]，′animate′）

相应的螺旋线可用动画效果来展示，如图1所示。

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例2 绘制马鞍面z=xy

Matlab编程如下：

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相应的马鞍面如图2所示。从图中清晰看到，（0，0，0）点是函数z=xy的稳定点，但它却不是函数的极值点。这在多元函数内容中，可以作为反例来帮助学生理解极值点和稳定点的关系。

例3 求由圆x2+（y-3）2≤1绕x轴旋转一圈所得环状立体的体积。

在三维空间中该圆的参数方程为x=costy=3+sintz=0，假设该圆绕x轴旋转θ，新得到的圆与最初的圆的关系为x′=xy′=ycosθz′=ysinθ

Matlab编程如下：

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本程序形象生动地演示了圆绕x轴旋转一圈形成环状立体的过程，并且从图中清晰看到，该环状立体形状类似轮胎。另外，还可以用Matlab软件对图形进行任意角度的旋转，达到更加直观的视觉效果。

2 Matlab数值计算功能在数学分析教学中的应用

数学分析内容抽象化、理论化，许多严格的数学概念令学生迷惑，难以接受，如数列极限的ε-N定义，数项级数的敛散性定义等。针对上述问题，我们在教学时要尽量结合概念的研究背景，讲清楚概念的来龙去脉，除此之外，还可以利用Matlab软件的数值计算功能，把概念案例化、具体化，让学生深刻感受到概念的本质和精髓。

例4 验证■■=0

令an=■，我们先计算出当n逐渐增大时，an的具体数值。

Matlab编程如下：

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不妨令n=10，在主命令窗口执行程序shulie（10），就能得到对应数据。结果如表1所示。

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从中看到，n越大，■越小，越靠近0。可以感受到，数列{an}存在极限，其实就是随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a，或者说，当n充分大时，数列通项an与常数 a之间的距离可以任意小。

例5 判断级数■■和■■的敛散性。

与初等数学不同，数项级数研究无穷多个数相加的情况，它是否存在“和”？如果存在，“和”等于多少？这就涉及到数项级数敛散性的问题，可以通过“有限项和”来逐步逼近“无限项和”。令Sn=■■，Tn=■■，先来看看前n项和的变化情况。

Matlab编程如下：

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结果如表2所示。从中可以看到，这两个级数有本质区别。随着n的无限增大，■■的前n项和Sn无限接近常数1.6449，是收敛的；而■■的前n项和Tn无限增大，不存在极限，是发散的。

3 Matlab符号计算功能在数学分析教学中的应用

利用Matlab软件的符号工具箱，我们可以轻松地完成数学分析中各种计算，操作简单，使用方便，可视效果好，既把学生从繁琐的计算中解放出来，提高学习兴趣，又能增强学生运用软件的能力。

例6 求极限■■和■■

Matlab编程如下：

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输出结果为1和0

例7 求y=sin（x2）的一阶和二阶导数。

Matlab编程如下：

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输出结果为：2*cos（x^2）*x和-4*sin（x^2）*x^2+2*cos（x^2）

例8 求不定积分■tan■xdx和定积分■■dx。

Matlab编程如下：

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输出结果为：tan（x）-x和1/4*pi

综上所述，利用Matlab辅助教学，不仅有助于加深学生对数学知识的理解和掌握，激发学习热情，加强学生的空间想象能力，更有助于学生提高动手能力和创新能力。Matlab强大的绘图、数值计算以及符号计算功能，使得它成为辅助数学分析教学的有力工具。

参考文献：

[1]詹再东，李建华.MATLAB在数学分析中的应用[J].洛阳师范学院学报，2005（02）.

[2]杨森，鲍汉军，申小芳.利用matlab辅助数学分析教学[J].科技资讯，2008（03）.

[3]金玲玉，房少梅，刘文琰.数学分析教学改革的几点认识和体会[J].大学数学，2012（04）.