Kaufman放电室二次电子温度的计算方法研究

吴辰宸，顾左

（兰州空间技术物理研究所真空技术与物理重点实验室，甘肃兰州 730000）

Kaufman放电室二次电子温度的计算方法研究

吴辰宸，顾左

（兰州空间技术物理研究所真空技术与物理重点实验室，甘肃兰州 730000）

二次电子温度计算是研究Kaufman放电室的核心内容之一。针对Kaufman放电室建立稳态平板非均匀放电模型对二次电子温度进行求解。稳态平板非均匀放电模型从扩散方程出发，重点考虑离子漂移造成的扩散运动和双极性电场对放电室径向密度梯度造成的影响，进一步结合粒子数守恒方程，给出用于求解二次电子温度的方程的解析表达式。代入典型的Kaufman放电室结构参数进行计算的结果表明，用稳态平板非均匀放电模型计算出来的二次电子温度符合实验测量的范围，同时说明在中低压放电条件下，扩散运动和双极性电场是影响放电性能的关键参数。

非均匀放电；扩散；双极性电场；二次电子温度；解析模型

0 引言

离子推力器作为当今宇航推进领域极具竞争力的一种动力装置，其主要特点是小推力、高比冲、推力可精确调节，已经在中高轨道卫星位置保持和轨道转移、深空探测等宇航任务中得到应用。发展小卫星进行阻尼补偿、轨道升降、位置保持、姿态控制、编队飞行等任务所需要的微小电推进技术[1]，意义十分重大。离子推力器主要由放电室、空心阴极、离子光学系统以及中和器四个部分组成，其中放电室作为离子推力器的核心组件，其性能的优劣直接影响着离子推力器的性能，研究离子推力器放电室放电机理，对于改善放电室性能，进一步提升离子推力器的性能有重要意义。

目前的离子推力器主要采用Kaufman离子源放电室。Kaufman离子源通过空心阴极发射原初电子轰击注入放电室内的中性气体工质，通过电离产生等离子体，原初电子和电离过程产生的二次电子一起近似服从Maxwell分布，等离子体中的离子通过离子光学系统的聚焦作用，被加速引出进而产生推力。在Kaufman放电室中，作为等离子体组分的电子和离子的输运机制，是影响放电室性能的重要因素。为了有效约束放电室内电子的平均自由程，进一步提升电离率，通常采用磁场进行约束。因此研究磁场作用下的电子、离子输运过程显得极为关键。

目前对Kaufman放电室内的等离子体放电机制的研究主要手段有两种：数值模拟和理论分析。其中，理论分析对于解释放电室内放电机理和损耗机制更为有效。国内外开展Kaufman放电室理论模型的研究已经有40余年，期间比较具有代表性的模型有Brophy等[2-3]在1984年提出的离子推力器放电室简化静态模型；Goebel等[4-5]在此基础上丰富了模型的内容，Goebel[6]的模型分析了磁场对离子、原初电子的约束效果，引入了阳极鞘层的物理性质，Goebel的模型构建了一组完备的描述Kaufman放电室性能的方程组，适合于计算机求解。

在研究放电室放电性能时，近似服从Maxwell分布的二次电子温度是一个非常核心的参数，作为关键的等离子体参数，承前启后地连接着Kaufman放电室输入参数和输出参数。因此，为了更好的理解Kaufman放电室放电机制，为更进一步研究Kaufman放电室放电性能提供理论基础，寻找一种理论上求解电子温度的方法是非常有意义的。文章从等离子体基本物理原理出发，根据Kaufman放电室的几何结构和放电条件，建立合适的放电模型，通过研究Kaufman放电室径向带电粒子密度梯度分布，同时结合粒子数守恒方程求解二次电子温度的平均值。由于放电损耗是二次电子温度的函数，研究成果可以为深入研究Kaufman放电室的放电损耗提供理论依据。

1 理论模型

现有Kaufman放电室等离子体放电属于部分电离等离子体，其中重要的物理过程是带电粒子与中性粒子之间的碰撞，稳态放电过程是通过不断电离中性粒子来维持的，电子和离子之间并不存在热平衡。

根据典型的低压等离子体放电数据对建模判据进行估算，Te～1～10 V，Ti约为室温（0.026 V）的数倍，因此有Ti/Te≈5.2×10-3；典型的Kaufman放电室尺寸l则在10～30 cm量级，因此：

根据离子平均自由程的半经验公式，结合典型的离子推力器Kaufman放电室放电气压1.33 Pa，得：

不难发现，（Ti/Te）l≤λi≤l，在这种情况下，扩散和双极性电场决定了离子输运过程。在主等离子体区域内，离子的漂移速度远高于热运动速度，此时扩散方程是非线性的[7]。

根据上面的分析，采用稳态平板非均匀放电模型对Kaufman放电室进行研究，如图1所示。

图1 离子推力器放电室稳态平板非均匀放电模型示意图

在最普遍的等离子体放电情形下，等离子体同时含有相同数目的离子和电子，此时扩散方程具有Helmholtz方程的形式：

式中:n为等离子体密度；νiz为电离频率；D=Da为双极扩散系数。

在一维情形下，三维Helmholtz方程退化为：

令β2=viz/D，β成为Helmholtz方程的最低阶本征值。根据微分方程理论，只有本征值对应的最低阶本征函数[8]，才是满足在区域内密度处处为正的条件的解。相应的本征函数为：

由于在碰撞电离的过程中会产生相同数量的电子和离子，其中电子的运动速度较快，离子的运动速度较慢。由于ve≫vi，因此等离子体的准电中性将被破坏，离子和电子之间形成了具有加速离子、抑制电子速度的电场，称之为双极性电场。双极性电场是系统自平衡的响应方式，目的是为了让等离子系统恢复准电中性状态。由于在稳态平板模型中，双极性电场是指向阳极壁面的，所以可以约束迁移率较高的电子，这个意义上讲，在（Ti/Te）l≤λi≤l的条件下，选取边界条件（n±l）/2=0是合适的，即β=π/l。

根据离子数守恒方程：

式中：Γi为离子通量。

进一步结合Fick定律：

式中：Da为双极性扩散系数。

将公式（7）代入公式（6）并在[0，l/2]的区间上进行积分可得：

简化后获得关系式：

进一步考虑有轴向磁场、电场和密度梯度存在时的扩散过程。由于在Kaufman放电室中，等离子体为弱电离等离子体，轴向磁场对具有较小回旋轨道电子的扩散过程的影响更为重要。通常放电室为圆柱形，密度梯度为径向，双极性电场的方向也为径向。因此，离子和电子垂直磁场方向的运动必须加以考虑。

在磁约束等离子体中，电子的扩散过程受到严重阻碍，此种情形下的扩散系数[9]为：

式中：νm为碰撞的动量转移频率；ωc为带电粒子的回旋频率。

进一步考虑强磁场约束下弱电离等离子体垂直于磁场方向的双极扩散系数[9]：

式中：D⊥a为垂直于磁场方向的双极性扩散系数；D⊥e为垂直于磁场方向的电子扩散系数。

将公式（10）、（11）代入公式（9）可得：

式中：σ0为初始碰撞截面；εiz为电离时电子能量的损失。

2 计算结果

通常的离子推力器都使用氙气作为气体工质。Xe原子的第一电离能εiz为12.13 eV，Kaufman放电室中原初电子的平均自由程为1.3 cm[10]，基本电荷e=1.6022×10-19C，电子质量m=9.1095×10-31kg，真空介电常数ε0=8.8542×10-12F/m，玻尔兹曼常数k=1.3807×10-23J/K，磁场强度B=0.01T，放电室中中性原子密度量级在1019m-3量级。

另取放电室直径l=20cm，将数据代入公式（13），并使用Matlab求解得：Te=1.12eV。

3 结论

在Kaufman放电室放电条件下，离子输运过程主要由扩散过程和双极性电场决定。通过建立稳态平板非均匀放电模型，从扩散方程出发，描述带电粒子在磁场中的扩散运动过程，并进一步利用粒子数守恒方程可以求出放电室中的二次电子温度。将Kaufman放电室假设为稳态平板非均匀放电模型，重点考察离子扩散运动和双极性电场导致的径向等离子体密度梯度，进一步求解二次电子温度。计算结果表明，稳态平板非均匀等离子体模型计算结果在通常试验测得的二次电子温度1～10 eV范围内。同时也在理论上说明了在中低气压放电条件下，离子漂移速度远高于热速度，扩散运动和双极性电场对放电室等离子体性质有着重要的影响。

[1]张天平，周昊澄，孙小菁，等.小卫星领域应用电推进技术的评述[J].真空与低温，2014，20（4）：187-192.

[2]Brophy J R.Ion Thruster Performance Model[R].NASA-CR-174810，1984.

[3]BrophyJR，WilburPJ.Simple performance model for ring and line cuspion thrusters[J].AIAAjournal，1985，23（11）：1731-1736.

[4] Goebel D M，Polk J E，Sengupta A. Discharge chamber perfor- mance of the NEXIS ion thruster[M]. Pasadena CA：Jet Propul- sion Laboratory，National Aeronautics and Space Administra- tion，2004

[5]Goebel D M，Wirz R E，Katz I.Analytical ion thruster dis-charge performance model[J].Journal of Propulsion and Pow-er，2007，23（5）:1055-1067.

[6] Goebel D M. Ion source discharge performance and stability[J]. PhysicsofFluids，1982，25（6）:1093-1102.

[7]Smirnov.PhysicsofWeaklyIonizedGases[M].Moscow，1996.

[8]谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程[M].北京：高等教育出版社，2002.

[9]Liberman著，蒲以康译.等离子体放电原理与材料处理[M].北京：科学出版社，2007.

[10]Yoshida H，Sugawara T.Ion Beam Production Cost of a Xenon Cusp Ion Thruster[C]//AIAA- 87- 1077，Colorado Spring， Colorado，1987：11-13.

THE RESEARCH OF CALCULATING THE SECONDARY ELECTRON TEMPERATURE IN KAUFMAN DISCHARGE CHAMBER

WU Chen-chen，GU Zuo
（Science and Technology on Vacuum Technology and Physics Laboratory，Lanzhou Institute of Space Technology and Physics，LanzhouGansu730000，China）

The calculation of secondary electron is one of the main research content of Kaufman discharge chamber. This paper is aimed at establishing non uniform steady discharge model to solving the secondary electron temperature. Non uniform steady discharge model starts from diffusion equation，we emphases the consideration of the effect of ion diffusion motion and ambipolar electron field to discharge chamber radial density gradient.Furthermore，consider the particle conservation equation，it can obtain the analytical representation for solving the secondary electron temperature.Using the typical date of Kaufman discharge chamber，the calculation illustrates that the result of non uniform steady discharge model is according with experiment result，at the same time，it also illustrates that in mid-pressure discharge condition or lower，diffusion motion and ambipolar electric field are the key facts which affects the discharge performance.

non uniform discharge；diffusion；ambipolar electric field；secondary electron temperature；analytical model

V443文献识别码：A

1006-7086（2014）06-0325-04

10.3969/j.issn.1006-7086.2014.06.004

2014-09-03

吴辰宸（1988-），男，浙江新昌人，硕士研究生，主要从事离子电推进放电室研究。

E-Mail：wuchenchen2008kaka@163.com