伪谱法在最优控制问题中的应用浅析

王璐

(牡丹江大学机械工程学院,黑龙江牡丹江 157000)

伪谱法在最优控制问题中的应用浅析

王璐

(牡丹江大学机械工程学院,黑龙江牡丹江 157000)

本文介绍了伪谱法在最优控制问题中应用。该方法是基于正交多项式的伪谱方法,在选取恰当的配置点后,将连续系统转化为离散系统,然后利用非线性规划理论进行求解,转化的关键是如何选取配置点以及如何构造微分方程。

伪谱法 最优控制问题

最优控制问题可以追溯到17世纪，当时约翰伯努利提出了著名的最速降线问题。他向同年代的人提出了这样一个问题，即一个垂直面上两点间的一个物体仅在重力的作用下沿何种路径下落可以使得下降的时间最短。之后，多位著名数学家，包括戈特弗里德威廉莱布尼兹，马奎斯，埃塞克牛顿，约翰伯努利，雅各布伯努利等都对最速降线问题提出了解决方案。这些方案建立了最优控制理论的雏形。

经历了三百多年的研究探索，最优控制领域已经取得了诸多的研究成果。包括：1733年由欧拉首次提出的的变分法，后来该方法以欧拉的名字命名。以及1950年，查理得贝尔曼率先在动力学工程发现的由哈密尔顿-雅克比-贝尔曼方程式导出的最优控制问题必要条件。1962年列弗庞特里亚金提出的针对“ bang-bang”控制问题限制条件闭集约束提出的极大值原理。而随着 20世纪 50年代计算机的发展，最优控制问题的解决方法逐渐转向了数值求解。目前，这类问题正吸引着越来越多的科研工作者的重视，现在以及未来若干年内都将是热点研究问题之一。

现今解决最优控制问题的数值解法在逼近方法和复杂性上有着很大的不同，这些方法将连续时间问题离散化为某代数形式并用所得结果利用有限维逼近获得结果。解决最优控制问题的数值方法主要有以下两种形式，直接法和间接法。间接法主要是针对由变分法、庞特里亚金极大值原理获得的最优控制问题一阶必要条件进行探究。该法将必要条件转化为一个哈密尔顿边值问题( HBVP)，然后获得最优轨迹的数值解。并发现该最优解就是通过选择使性能指标最低的极值轨迹。而间接法最大的优点就是获得的解具有很高的精确性并且满足最优控制问题一阶必要条件。然而，间接法也有以下几个缺点。首先， HBVP问题的解必须是解析的。其次，间接法是典型的小半径收敛，恰当的初值选择对于问题的解决非常重要。同时，间接法需要一个准确的对于协态变量的猜测，而协态变量往往没有实际意义，所以难以选取。最后，对于路径约束问题，得知限制或非限制路径或可变换结构的先验知识也是必要的。 BNDSCO是一种解决乘子边值问题的间接多重打靶法。在直接法中，这个连续时间最优控制问题被离散转化成了一个有约束条件的非线性规划问题( NLP)。这个 NLP问题可以由 KKT( Karush-Kuhn-Tucker )条件来获得解。直接法的优点是不用最优控制问题的一阶必要条件，较间接法相比具有较大的收敛半径，不需要很准确的初值猜测，不需要对协态变量的猜测。重要的是变换结构不需要预先知道。故而，有较多的应用，但缺点是无法获得协态变量的信息，从而无法检验NLP问题的解是否真的与原问题是等价的。直接法的种类是非常多的，并且包含了很多不同的方法技术。两种常见的离散方法是将最优轨线，路径约束等控制约束参数化。在控制约束参数化方法中，将只把控制方程参数化，用数值积分来近似性能指标，比如有打靶法和多重打靶法。在控制约束和最优轨线参数化法中，将连续时间的控制问题离散化，将性能最优控制问题的数值解一直是控制界的难点之一。按照经典的最大值原理，最优控制问题的求解将导致一组微分方程的两点编制问题的计算。而对于大规模的系统而言，数值计算如何保证所求000000000000000000解的结果准确变得尤为重要，更麻烦的是，如果最优控制问题存在不等式约束条件，那么数值计算变得更为困难。按照经典的最大值原理，最优控制问题的求解将导致一组微分方程的两点边值问题的计算。而对于大规模的系统而言，数值计算如何保证所求解的准确性变得尤为重要，更麻烦的是，如果最优控制问题存在不等式约束条件，那么数值计算将更为困难。对于最优控制问题的数值解，许多年来许多学者研究如何利用近似方法来求解，产生了控制向量参数化法 Chebyshev多项式正交近似法等。

由于控制问题在工程中有着广泛的应用，国内外有许多的学术机构投身于相应的研究中。 Harpold最早为美国的航天飞机再入提供方案，在满足再入走廊的前提下，建立阻力加速度相对于速度的标称轨迹，通过对待飞航程的预测和优化实现最优再入轨迹。基于Harpold思想， Axel等人做出改进，建立阻力加速度相对于能量的标称轨迹。我国的陈士橹院士及其他一些学者，都曾求解过以最小加热量为最优性能指标的再入轨迹。 Shen提出更为实用的机载实时计算再入轨迹的方法。 Betts和Tang等学者利用直接法分别求解了有约束条件下的轨迹优化问题和星际转移轨道优化问题。

伪谱方法在最优控制问题上的最早应用是1980年。1998年，美国海军研究生院的学者 Fahroo和Qi等人对由 Vlassenbroeck和Elnagar引入最优控制求解领域的伪谱方法( PseudoSpectral Method)进行了大量的研究和完善。研究表明，伪谱方法对于求解最优控制问题具有良好的收敛性和较低的初值敏感度。随着应用领域的一系列成功和多种新型伪谱方法的提出。伪谱方法成为最优控制数值求解领域最为活跃的分支。近年来许多学者有对该方法进行研究，例如，勒让德( Legendre)伪谱法等。而目前较为通用的是 Gauss伪谱法， Gauss伪谱法是伪谱法的一种变化形式，是求解非线性优化控制的一种新方法，首先由 Elnagar等引入，并由 Ross等构造完成以求解优化控制问题。 Benson从理论上证明了高斯伪谱法的 KKT条件准确等于最优一阶必要条件的离散形式，因而保证了所求解与间接法所求解的一致，NLP问题应用 KKT乘子向量得到的协态变量是准确的，并且状态变量和控制变量的误差随着离散点的增多而迅速减小。高斯伪谱法( Gauss Pseudo spectral Method)是一种正交计算方法，它的配置点是勒让德-高斯( Legendre-Gauss，简称LG)点，这种方法将状态演化和控制规律通过用多项式参数化，微分方程用正交多项式近似。高斯伪谱法是一种基于谱方法的算法，它比其他方法具有更快的收敛速率，他最初使用 Chebyshev多项式，高斯伪谱法与其它伪谱法不同之处在于动态约束不在边界点配置。

课题名称：高职高专创新型人才培养质量评估体系研究，课题类别：黑龙江省职业教育学会“十二五”规划课题，课题编号：GG0470。