基于APOS理论的职高数学概念课教学设计探析

高波

摘 要： APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情境，从而建构数学思想.本文以《函数的概念》为例，具体探索在课堂教学活动中，教师如何利用生活中的实例启发和引导学生抽象出函数的概念，从而使学生掌握知识和发展思维.

关键词： APOS理论 职高数学概念课 《函数的概念》

一、引言

能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程被称为概念学习.数学是反映现实世界中空间形式和数量关系的学科，而数学概念是数学学科知识体系的基础，是数学知识本质属性的反映，是构建数学理论的基石.因此数学概念学习就成为数学学习的核心.数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式.它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性.在现实教学中，由于数学概念的抽象性与概括性，往往令很多学生头疼.实际上，中职学生原本数学基础比较薄弱，对那些抽象的数学概念难以理解，学习时更是困难重重.如何上好职高数学概念课，让学生理解掌握数学概念呢？本文就以一节概念课为例进行探讨.

二、APOS理论

20世纪90年代以后，建构主义的教育理论思潮迅速流行.其主要观点就是学生获取知识不是被动的，而是通过学习主体自主建构.APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，由美国学者杜宾斯基（E.Dubinsky）提出的，主要针对数学概念的学习，从数学心理学的角度将学生的心智建构分为四个阶段：action（操作）、process（过程）、object（对象）和schema（图式）.它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情境，从而建构他们自己的数学思想.

（一）操作（Action）阶段——引入概念.

操作阶段是学生理解概念的基础.通过操作感觉事物，感受概念的直观背景和概念间的联系，是感性认识阶段.

（二）过程（Process）阶段——概括概念.

教学中应充分发挥学生主体的能动性，通过前一阶段的操作活动进行思考，经历思维的内化过程，总结出概念的定义.

（三）对象（Object）阶段——分析概念的内涵与外延，揭示概念的关系.

通过对概念演化发展过程中资料的分析、抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象.

（四）图式（Scheme）阶段——深化学习.

学生不断调整自身已有的认知结构，通过同化和顺应建立新的平衡，形成新的知识图式.

APOS理论充分反映了个体认知数学概念的思维过程，揭示了数学概念学习的本质.对职高数学的概念教学具有极大的启发意义.

三、教学设计

（一）教学内容解析.

函数是贯穿整个中职数学课堂的主线之一，它所蕴涵的数学思想和方法渗透到科技和生活的各个领域，是现代数学的基础.函数的教与学使学生由初中形象思维向高中抽象逻辑思维转化，培养学生基本运算能力和解决实际问题能力.因此，在学生高中数学知识体系的构建上，本节课起到了至关重要的基石作用.

函数概念的教学要求利用集合的观点，对初中学过的函数知识进行再认识，拓展了函数概念的外延，丰富了其内涵.针对学生的实际认知水平，本课的教学基于建构主义的APOS理论，采用问题驱动的方式，利用生活中的实例启发和引导学生抽象出函数的概念，从而使学生掌握知识和发展思维.

（二）教学重难点.

本课的重点确定为：函数的概念，函数的两要素，求函数的定义域.而对函数的概念及记号的理解，判断两个函数是否相同，这些内容作为本课的难点.

重难点突破：利用加油站计价器的动画导入函数的概念，让学生体会探究并发现两个变量之间的依赖关系，从集合的角度抽象出函数的概念.通过计价器的变化帮助学生理解函数的定义域，指导学生求出函数值.通过三个计价器的动画对比剖析，引导学生深入理解定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同要看这两个要素是否相同.

（三）教学目标解析.

通过生活中实例帮助学生建立函数的概念，理解函数的定义及函数符号的含义；使学生能用集合与对应的语言描述函数，深入理解函数的两个要素.通过从实例中抽象出函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力及数学思维能力；理解函数定义域的含义，会求函数的定义域，并能将函数的定义域用集合的方式表示出来；通过函数值的求解，培养学生的计算能力；认识函数的两要素，掌握判断两个函数是否相同的方法，培养学生对比分析问题的能力，学会抓住问题的关键.

教学过程中鼓励学生积极、主动地参与课堂教学的整个过程，感受数学严谨的逻辑推理过程，通过师生的课堂问答，帮助学生建立攻克难点的自信，发现探索新知的乐趣，获得成功的体验.

（四）教学过程设计.

依据APOS理论，本课的教学分成四个阶段：

1.操作阶段：创设情境，问题引导.

播放动画：3月初，小王开车来到中国石化加油站加油.请同学们仔细观察视频中加油计价器上数字的跳动.

回答下面四个问题：

（1）这个加油的变化过程中，有哪些量在变化，哪些没有变化？哪个量依附于哪个量在变化？

（2）请同学们计算，当加油量为15升，36升和48升时，计价器上显示的金额分别是多少？

（3）加油量是否一直在增大？写出加油量的变化范围.金额是否一直在增加？写出金额的变化范围.

设计意图：

问题（1）是让学生寻找加油过程中的两个变量，引导学生用已有的运动变化的观点抽象出函数概念.

问题（2）是引导学生求函数值，培养学生的计算能力.endprint

问题（3）因为汽车油箱容积一定，所以加油到50升时就满了，油箱的容积决定了函数的定义域，加满油时金额也不会再上升，初步找出加油量与金额的变化范围，并用集合表示出来.

（4）如果把加油量看成x，把金额看成y，你能建立起x与y之间的关系吗？

由于前三个问题的铺垫，水到渠成，学生顺利得出加油量与金额之间的函数关系，对于自变量x的取值范围，应加以强调.

通过以上回忆、计算、推理等数学操作活动，学生对函数的概念有了感性认识.

2.过程阶段：对照引例，形成概念.

在上述例子中，我们可以发现，在汽车加油的变化过程中有两个变量：加油量x与金额y，因为油箱只有50升，即自变量x有它自己的取值范围：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一个加油量x，按照8元/升的价格，都有唯一的金额y与之对应，我们可以建立起加油量x与金额y之间的对应关系：y=8x{0≤x≤50}.由此总结出函数的概念：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么把x叫做自变量，把y叫做x的函数，记作y=f（x）.

设计意图：把引例中的数学问题进行压缩、提升，将新的集合的观点描述的函数的概念，加入学生已有认知结构中.

3.对象阶段：概念剖析，巩固强化.

y=f（x）是函数概念的形式化的符号，x表示自变量，如例中的加油量，y是x的函数，如例中的金额，f表示对应法则，如例中加油量与金额之间的对应法则是单价8元/升，那么，不同的对应法则可以用不同的符号表示，如g（x），h（x），F（x）等，自变量x的取值范围叫做函数的定义域，如例中油箱的容积为50，D={x|0≤x≤50}.

定义域与对应法则称为函数的两个要素.

当x=x■时，函数y=f（x）对应的值y■叫做函数在点x■处的函数值，记作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函数在x=15处的函数值.函数值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函数的值域，如金额y的取值范围C={y|0≤y≤400}.

基于学生对函数概念的初步认识，设计了3个例题.

例1.判断下列代数式哪些是函数，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

设计意图：前两小题学生能很快做出回答，分别是熟悉的一次函数及一元二次函数.学生对3、4题的判断出现了意见分歧.有的学生仍停留在初中对函数概念的认识，认为3不是函数，因为没有变量x，而4是函数，因为x和y都有.这时回顾函数的集合定义，强调定义中的“每一个”“唯一一个”的准确理解.从而使学生对函数概念的理解上升到理性阶段.

例2.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

设计意图：强调函数的定义域是自变量x的取值范围.在实际问题中，定义域是由问题的实际意义所确定的，如油箱的容积为50，在用代数式表示的函数中，定义域是使代数式有意义的自变量x的取值范围.

例3.设函数f（x）=■，试求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

设计意图：第一题由老师求解，后面三小题可由学生板演.

通过有关函数值的计算，培养学生的计算能力.

4.图式阶段：对比实例，深入解析.

观察三次加油的课件：

1.2014年3月初，小王车加油，油箱50升，单价8元/升.

2.2014年3月初，小张车加油，油箱35升，单价8元/升.

3.2014年1月初，小王车加油，油箱50升，单价7元/升.

问题1：观察1、2两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（定义域不同）

问题2：观察1、3两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（对应法则不同）

设计意图：回归到汽车加油问题中，改变加油量的最大值与单价，教师引导学生从中得出判断两个函数为同一函数的标准：定义域与对应法则是否相同.紧随其后设计例题.

例4.指出下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函数的定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同就是判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，而与表示函数所选用的字母无关.

设计意图：通过以上四个例题的分析求解，深化目标.学生最终形成函数概念的心智结构.

通过本课的学习，学生的认知结构中只能形成函数概念的初始阶段的图式，今后还需要长期的学习活动（如指对函数、三角函数等）进行完善.

紧扣本节课的重难点，设计几道课堂练习题，帮助学生应用知识，强化训练.

1.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判断下列各组函数是否为同一函数：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后进行归纳小结，布置作业.

四、设计体会

APOS理论对学生的函数概念的理解作了分层分析，真实反映了学生的心智建构过程，揭示了函数概念学习的本质.学生对本概念的理解不是线性的，而是呈循环螺旋上升的趋势.基于APOS理论设计的本课的教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，学生在形成函数概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象，由感性认识上升到理性认识的过程.在函数的概念教学中，教师引导学生不断探索，相互交流，培养了学生解决实际问题的能力；引导学生自主实践，勇于发现，培养了学生的创新能力.

参考文献：

[1]刘超，王志军.论核心数学概念及其教学.高中数学教与学，2011（11）.

[2]叶立军.数学课程与教学论.浙江大学出版社.

[3]翁凯庆.数学教育概论.四川大学出版社.

[4]顾泠沅，鲍建生.数学学习的心理基础与过程.上海教育出版社.

[5]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）.高等教育出版社.

[6]易树湘.基于APOS理论的函数性质教学研究.湘潭师范学院学报，2009（9）.endprint

问题（3）因为汽车油箱容积一定，所以加油到50升时就满了，油箱的容积决定了函数的定义域，加满油时金额也不会再上升，初步找出加油量与金额的变化范围，并用集合表示出来.

（4）如果把加油量看成x，把金额看成y，你能建立起x与y之间的关系吗？

由于前三个问题的铺垫，水到渠成，学生顺利得出加油量与金额之间的函数关系，对于自变量x的取值范围，应加以强调.

通过以上回忆、计算、推理等数学操作活动，学生对函数的概念有了感性认识.

2.过程阶段：对照引例，形成概念.

在上述例子中，我们可以发现，在汽车加油的变化过程中有两个变量：加油量x与金额y，因为油箱只有50升，即自变量x有它自己的取值范围：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一个加油量x，按照8元/升的价格，都有唯一的金额y与之对应，我们可以建立起加油量x与金额y之间的对应关系：y=8x{0≤x≤50}.由此总结出函数的概念：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么把x叫做自变量，把y叫做x的函数，记作y=f（x）.

设计意图：把引例中的数学问题进行压缩、提升，将新的集合的观点描述的函数的概念，加入学生已有认知结构中.

3.对象阶段：概念剖析，巩固强化.

y=f（x）是函数概念的形式化的符号，x表示自变量，如例中的加油量，y是x的函数，如例中的金额，f表示对应法则，如例中加油量与金额之间的对应法则是单价8元/升，那么，不同的对应法则可以用不同的符号表示，如g（x），h（x），F（x）等，自变量x的取值范围叫做函数的定义域，如例中油箱的容积为50，D={x|0≤x≤50}.

定义域与对应法则称为函数的两个要素.

当x=x■时，函数y=f（x）对应的值y■叫做函数在点x■处的函数值，记作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函数在x=15处的函数值.函数值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函数的值域，如金额y的取值范围C={y|0≤y≤400}.

基于学生对函数概念的初步认识，设计了3个例题.

例1.判断下列代数式哪些是函数，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

设计意图：前两小题学生能很快做出回答，分别是熟悉的一次函数及一元二次函数.学生对3、4题的判断出现了意见分歧.有的学生仍停留在初中对函数概念的认识，认为3不是函数，因为没有变量x，而4是函数，因为x和y都有.这时回顾函数的集合定义，强调定义中的“每一个”“唯一一个”的准确理解.从而使学生对函数概念的理解上升到理性阶段.

例2.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

设计意图：强调函数的定义域是自变量x的取值范围.在实际问题中，定义域是由问题的实际意义所确定的，如油箱的容积为50，在用代数式表示的函数中，定义域是使代数式有意义的自变量x的取值范围.

例3.设函数f（x）=■，试求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

设计意图：第一题由老师求解，后面三小题可由学生板演.

通过有关函数值的计算，培养学生的计算能力.

4.图式阶段：对比实例，深入解析.

观察三次加油的课件：

1.2014年3月初，小王车加油，油箱50升，单价8元/升.

2.2014年3月初，小张车加油，油箱35升，单价8元/升.

3.2014年1月初，小王车加油，油箱50升，单价7元/升.

问题1：观察1、2两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（定义域不同）

问题2：观察1、3两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（对应法则不同）

设计意图：回归到汽车加油问题中，改变加油量的最大值与单价，教师引导学生从中得出判断两个函数为同一函数的标准：定义域与对应法则是否相同.紧随其后设计例题.

例4.指出下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函数的定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同就是判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，而与表示函数所选用的字母无关.

设计意图：通过以上四个例题的分析求解，深化目标.学生最终形成函数概念的心智结构.

通过本课的学习，学生的认知结构中只能形成函数概念的初始阶段的图式，今后还需要长期的学习活动（如指对函数、三角函数等）进行完善.

紧扣本节课的重难点，设计几道课堂练习题，帮助学生应用知识，强化训练.

1.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判断下列各组函数是否为同一函数：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后进行归纳小结，布置作业.

四、设计体会

APOS理论对学生的函数概念的理解作了分层分析，真实反映了学生的心智建构过程，揭示了函数概念学习的本质.学生对本概念的理解不是线性的，而是呈循环螺旋上升的趋势.基于APOS理论设计的本课的教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，学生在形成函数概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象，由感性认识上升到理性认识的过程.在函数的概念教学中，教师引导学生不断探索，相互交流，培养了学生解决实际问题的能力；引导学生自主实践，勇于发现，培养了学生的创新能力.

参考文献：

[1]刘超，王志军.论核心数学概念及其教学.高中数学教与学，2011（11）.

[2]叶立军.数学课程与教学论.浙江大学出版社.

[3]翁凯庆.数学教育概论.四川大学出版社.

[4]顾泠沅，鲍建生.数学学习的心理基础与过程.上海教育出版社.

[5]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）.高等教育出版社.

[6]易树湘.基于APOS理论的函数性质教学研究.湘潭师范学院学报，2009（9）.endprint

问题（3）因为汽车油箱容积一定，所以加油到50升时就满了，油箱的容积决定了函数的定义域，加满油时金额也不会再上升，初步找出加油量与金额的变化范围，并用集合表示出来.

（4）如果把加油量看成x，把金额看成y，你能建立起x与y之间的关系吗？

由于前三个问题的铺垫，水到渠成，学生顺利得出加油量与金额之间的函数关系，对于自变量x的取值范围，应加以强调.

通过以上回忆、计算、推理等数学操作活动，学生对函数的概念有了感性认识.

2.过程阶段：对照引例，形成概念.

在上述例子中，我们可以发现，在汽车加油的变化过程中有两个变量：加油量x与金额y，因为油箱只有50升，即自变量x有它自己的取值范围：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一个加油量x，按照8元/升的价格，都有唯一的金额y与之对应，我们可以建立起加油量x与金额y之间的对应关系：y=8x{0≤x≤50}.由此总结出函数的概念：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么把x叫做自变量，把y叫做x的函数，记作y=f（x）.

设计意图：把引例中的数学问题进行压缩、提升，将新的集合的观点描述的函数的概念，加入学生已有认知结构中.

3.对象阶段：概念剖析，巩固强化.

y=f（x）是函数概念的形式化的符号，x表示自变量，如例中的加油量，y是x的函数，如例中的金额，f表示对应法则，如例中加油量与金额之间的对应法则是单价8元/升，那么，不同的对应法则可以用不同的符号表示，如g（x），h（x），F（x）等，自变量x的取值范围叫做函数的定义域，如例中油箱的容积为50，D={x|0≤x≤50}.

定义域与对应法则称为函数的两个要素.

当x=x■时，函数y=f（x）对应的值y■叫做函数在点x■处的函数值，记作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函数在x=15处的函数值.函数值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函数的值域，如金额y的取值范围C={y|0≤y≤400}.

基于学生对函数概念的初步认识，设计了3个例题.

例1.判断下列代数式哪些是函数，哪些不是？

（1）y=2x+1 （2）y=x■-3

（3）y=1 （4）y■=x

设计意图：前两小题学生能很快做出回答，分别是熟悉的一次函数及一元二次函数.学生对3、4题的判断出现了意见分歧.有的学生仍停留在初中对函数概念的认识，认为3不是函数，因为没有变量x，而4是函数，因为x和y都有.这时回顾函数的集合定义，强调定义中的“每一个”“唯一一个”的准确理解.从而使学生对函数概念的理解上升到理性阶段.

例2.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■

设计意图：强调函数的定义域是自变量x的取值范围.在实际问题中，定义域是由问题的实际意义所确定的，如油箱的容积为50，在用代数式表示的函数中，定义域是使代数式有意义的自变量x的取值范围.

例3.设函数f（x）=■，试求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.

设计意图：第一题由老师求解，后面三小题可由学生板演.

通过有关函数值的计算，培养学生的计算能力.

4.图式阶段：对比实例，深入解析.

观察三次加油的课件：

1.2014年3月初，小王车加油，油箱50升，单价8元/升.

2.2014年3月初，小张车加油，油箱35升，单价8元/升.

3.2014年1月初，小王车加油，油箱50升，单价7元/升.

问题1：观察1、2两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（定义域不同）

问题2：观察1、3两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（对应法则不同）

设计意图：回归到汽车加油问题中，改变加油量的最大值与单价，教师引导学生从中得出判断两个函数为同一函数的标准：定义域与对应法则是否相同.紧随其后设计例题.

例4.指出下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数：

（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t

函数的定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同就是判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，而与表示函数所选用的字母无关.

设计意图：通过以上四个例题的分析求解，深化目标.学生最终形成函数概念的心智结构.

通过本课的学习，学生的认知结构中只能形成函数概念的初始阶段的图式，今后还需要长期的学习活动（如指对函数、三角函数等）进行完善.

紧扣本节课的重难点，设计几道课堂练习题，帮助学生应用知识，强化训练.

1.求下列函数的定义域：

（1）f（x）=■ （2）f（x）=■

2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.

3.判断下列各组函数是否为同一函数：

（1）f（x）=x，f（x）=■

（2）f（x）=x+1，f（x）=■

最后进行归纳小结，布置作业.

四、设计体会

APOS理论对学生的函数概念的理解作了分层分析，真实反映了学生的心智建构过程，揭示了函数概念学习的本质.学生对本概念的理解不是线性的，而是呈循环螺旋上升的趋势.基于APOS理论设计的本课的教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，学生在形成函数概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象，由感性认识上升到理性认识的过程.在函数的概念教学中，教师引导学生不断探索，相互交流，培养了学生解决实际问题的能力；引导学生自主实践，勇于发现，培养了学生的创新能力.

参考文献：

[1]刘超，王志军.论核心数学概念及其教学.高中数学教与学，2011（11）.

[2]叶立军.数学课程与教学论.浙江大学出版社.

[3]翁凯庆.数学教育概论.四川大学出版社.

[4]顾泠沅，鲍建生.数学学习的心理基础与过程.上海教育出版社.

[5]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）.高等教育出版社.

[6]易树湘.基于APOS理论的函数性质教学研究.湘潭师范学院学报，2009（9）.endprint