多彩的三角形面积公式

刘世民（新疆伊宁市第八中学）

我们最早接触的图形就是三角形，它也是最简单的几何图形.关于三角形的研究多种多样，三角形中边、角关系的转化和应用构成了丰富多彩的数学内容.在三角形的应用中，求三角形的面积也是经常出现的一个问题，下面我来重点说说三角形的面积问题.我们知道三角形的面积公式是S=×底×高，我们把它当口诀一样熟记在心.关于它的由来可以通过割补图形，用等底等高平行四边形面积的一半来表示.

若设△ABC的三边为a、b、c，三边上的高分别为ha、hb、hc，如图，由解直角三角形易得三边上的高ha、hb、hc，根据面积公式S=×底×高，可以推导出另一面积公式S△=12c b sin A=c·a sin B=a·b sin C.由此公式，可以直接计算已知两边及夹角的三角形面积，并解决一些与面积相关的问题.通过这一组公式，我们发现求三角形的面积不光是用边可以求解，利用边和角一样可以求解.

这个结果，就是著名的海伦公式，可以直接由三角形的三边长a、b、c求出三角形的面积.该公式最早出现于古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，公式的形式漂亮，且便于记忆.

这个公式本质上与海伦公式相同，只不过形式上不够好看，不易记忆，这是我国大数学家秦九韶的“三斜求积”公式.

在已知三角形三个顶点的坐标，也可以去求三角形的面积.如：在△ABC中，若A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），利用两点间距离公式求出边长，亦可求出面积，但这样较繁琐，如果利用向量运算，还可得如下结论：在△ABC中，设=a=用向量的数量积运算关系及三角代换，可化简得将a，b坐标代入，得

通过以上分析，我们探讨了几种三角形面积公式之间的相互联系，灵活运用三角形的面积公式，能帮助我们解决许多解三角形的问题.