积分第一中值定理的推广

陈玉

(江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌330022)

国内外的数学分析及微积分教材中，常见的积分第一中值定理是被积函数乘积因子g(x)在［a，b］上连续且不变号的积分第一中值定理的形式，即:

积分第一中值定理［1］:若f与g都在［a，b］上连续，且g(x)在［a，b］上不变号，则至少存在一点ξ∈［a，b］，使得

其中，要进一步证明中值点ξ可在开区间(a，b)内取到还另需繁复的证明。

本文将g(x)的条件减弱，用简便的方法直接得到中值点ξ可在开区间(a，b)内取到的结论，分别得到了闭区间与有限开区间上推广的积分第一中值定理。

1 闭区间上推广的积分第一中值定理

引理1［2］:设f(x)在［a，b］上连续，g(x)在［a，b］上有界且有原函数，则f(x)g(x)在［a，b］上有原函数。

证明:设F(x)为f(x)在［a，b］上的一个原函数，则由引理2可得

从而

定理1:设f(x)在［a，b］上连续，g(x)在［a，b］上可积且有原函数，g(x)≠0(a＜x＜b)，则存在ξ∈(a，b)，使得

即

也即

注1:由于可积但不连续的函数也可能有原函数［2］，因此定理1的条件比积分第一中值定理更弱，并且用简便的证明方法直接得到中值点可在开区间内取到，从而推广了积分第一中值定理。

注2:定理1也是文献［4］推论4的推广。

文献［4］推论4:设f(x)、g(x)在［a，b］上连续，∀x∈［a，b］，g(x)≠0，则存在ξ∈(a，b)，使得

易见，文献［4］推论4可直接由定理1得到，成为定理1的一个推论，并且还可将条件“∀x∈［a，b］，g(x)≠0”放宽为“g(x)≠0(a＜x＜b)”。

注3:定理1也可由文献［5］定理2(柯西型积分中值定理)直接得到一个更简洁的证明(见以下证2)。

引理4［5］(柯西型积分中值定理):设f(x)，g(x)在［a，b］上可积，且在［a，b］上有原函数，g(x)≠0(a＜x＜b)，那么存在ξ∈(a，b)，使得

证2:g(x)在［a，b］上可积，从而g(x)在［a，b］上有界。由引理1得，f(x)g(x)在［a，b］上有原函数。又f(x)g(x)在［a，b］可积，f(x)在［a，b］上可积，且在［a，b］上有原函数，由引理4即得存在ξ∈(a，b)，使得

也即

2 有限开区间上推广的积分第一中值定理

引理5［1］:设f(x)、g(x)均为定义在［a，b］上的有界函数，若仅在［a，b］中有限个点处f(x)≠g(x)，则当f(x)在［a，b］上可积时，g(x)在［a，b］上也可积，且

由F(x)在［a，b］上连续知F(x)在［a，b］上有界，则存在M＞0，对所有x∈(a，b)，有|F(x)|≤M，即|f(x)|≤M，(x∈(a，b))，则

即f(x)在［a，b］上有界。由g(x)在［a，b］上可积，得g(x)在［a，b］上有界，从而f(x)g(x)在［a，b］上有界。又因为F(x)g(x)在［a，b］上有界，且仅在x=a，x=b处F(x)g(x)≠f(x)g(x)。

由引理5得，f(x)g(x)在［a，b］上可积，且

又因为F(ξ)=f(ξ)，从而

注4:定理2是定理1的推广，特别地，当A= f(a)，B=f(b)时，定理2即为定理1。同理，推论是文献［4］推论4的推广，当A=f(a)，B=f(b)时，推论即为文献［4］推论4。

［1］ 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2001:212.

［2］ 周民强.数学分析(第二册)［M］.上海:上海科学技术出版社，2003:24－39，328.

［3］ 周民强.数学分析(第一册)［M］.上海:上海科学技术出版社，2002.

［4］ 伍建华，孙霞林，熊德之.一类积分型中值定理的渐近性讨论［J］.西南师范大学学报(自然科学版)，2012，37(8):24－27.

［5］ 陈 玉.基于微分中值定理的积分中值定理［J］.高等数学研究，2013，16(6):42－45.