自由代数Fm的E(n)-模代数的证明

郑 烨

(江苏食品药品职业技术学院 基础教学部, 江苏 淮安 223003)

1 理论基础

设k是一个域，chark≠2，E(n)[1](n是一个正整数)是域k上的2n+1-维Hopf代数.作为代数E(n)由g,hi(i=1,2,…，n)生成，满足生成关系式

g2=1,hihj+hjhi=0,ghi+hig=0,∀1≤i,j≤n

余乘法、余单位和antipodeS由下式给出：

Δ(g)=g⊗g,(Δhi)=hi⊗g+1⊗hi，ε(g)=1,ε(hi)=0,s(g)=g-1,s(hi)=ghi.

其中1≤i≤n.当n=1时，E(1)恰好为Sweedler四维Hopf代数H4[2-4].

对于任意严格递增的子集P={p1,p2,…p3}⊆{1,2,…，n}，即p1

定义1[5]一个k-代数A称为超代数，如果A是一个Z2-分次代数，其中Z2=Z/2Z,即A有子空间直和分解：A=A0⊕A1,而且AiAj⊆Ai+j，其中i,j∈Z2.

定义2[5]设A是一个超代数，一个线性变换δ∈End(A)称为分次微分，若以下条件成立：

(1)δ(Ai)∈Ai+1；

(2)δ2=0；

(3)δ(ab)=aδ(b)+(-1)iδ(a)b,a∈A,b∈Ai,

其中i∈Z2.

定义3[5]一个代数A称为多重微分超代数，若A是一个超代数，且有n个分次微分δ1,δ2,…，δn满足：

δiδj+δjδi=0,1≤i,j≤n

2 定理证明

命题1一个k-代数A是左E(n)-模代数[6]，当且仅当A是一个多重微分超代数.

证明设A是E(n)-模代数，则A=A0⊕A1是一个超代数，其中Ai={a∈A|g·a=(-1)ia},i=1, 2.对于1≤j≤2，令δj∈End(A)为

δj(a)=hj·a,a∈A

则显然有δj2=0和δiδj+δjδi=0.再设a∈A,b∈Ai,i=1, 2,则

δj(ab)=hj·(ab)=(1·a)(hj·b)+(hj·a)(g·b)=aδj(b)+(-1)iδj(a)b

g·(δj(b))=g·(hj·b)=(ghj)·b=-(hjg)·b=-hj·(g·b)=(-1)i+1hj·b=(-1)i+1δj(b)

故δj是A的分次微分，A为多重微分超代数.

反之，若A是一个多重微分超代数，且有n个分次微分δ1，δ2，…，δn，则直接验证可知A是左E(n)-模代数，其模作用为

g·a=(-1)ia，hj·a=δj(a),a∈Ai,i=1, 2，j=1, 2, …,n

现在设k{x1,x2,…，xm}为m个变元x1,x2,…，xm的自由代数，则k{x1,x2,…，xm}有一组k-基：

{1,xi1,xi2…,xis|s≥1,1≤i1,i2,…，is≤m}

以下简记k{x1,x2,…，xm}为Fm.

定理1设Γ=(γij)n×m∈Mn×m(k)是域k上的n×m矩阵，则Fm是一个左E(n)-模代数，其模作用由Γ确定如下：

g·xj=-xj,hi·xj=γij,1≤i≤n,1≤j≤m

证明如果Fm是一个左E(n)-模代数，模作用由矩阵Γ按定理中的等式给出，则首先有

g·1=1，hi·1=0，i=1, 2, …,n

进一步地，对于任意的1≤i1,i2,…，is≤m,s≥1有

g·(xi1xi2…xis)=(g·xi1)(g·xi2)…(g·xis)=(-1)sxi1…xis

和

因此，我们可以直接定义E(n)在Fm上的模作用如下:

g·1=1，hi·1=0，g·(xi1xi2…xis)=(-1)sxi1xi2…xis

其中s≥1,1≤i1,i2,…，is≤m,1≤i≤n.则显然有

g·(g·1)=1

g·(g·(xi1xi2…xis))=xi1xi2…xis

g·(hi·1)+hi·(g·1)=0

hi·(hj·1)+hj·(hi·1)=0

其中s≥1,1≤i1,i2,…，is≤m，1≤i≤n.进一步地还有

从而有

hi·(hj·(xi1xi2…xis))+hj·(hi·(xi1xi2…xis))=

这就证明了上述定义使得Fm是一个左E(n)-模.

然后，设1≤i1,i2，…，is,j1,j2,…jt≤m,其中s,t≥1,则有

g·((xi1…xis)(xj1…xjt))=g·(xi1…xisxj1…xjt)=(-1)s+t(xi1…xisxj1…xjt)=

((-1)sxi1…xis((-1)txj1…xjt)=(g·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))

以及

和

(hi·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))+(xi1…xis)(hi·(xj1…xjt))=

这就证得了

hi·((xi1…xis)(xj1…xjt))=(hi·(xi1…xis))(g·(xj1…xjt))+(xi1…xis)(hi·(xj1…xjt))

故Fm是一个左E(n)-模代数.记定理1中给出的E(n)-模代数为Fm(Γ)

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