Hom-Leibniz代数的直和

张永平, 王欣彦

(沈阳化工大学 数理系， 辽宁 沈阳 110142)

Hom-代数是代数形变理论中的一类. 最早，Hom-代数理论是19世纪Hartwing、Larsson和Silvestrov在研究Witt代数和Virasoro代数的一种量子形变时引进的[1].李代数是现代数学中的基本研究对象.Hom-Lie代数相对于李代数多了一个双线性同态映射α，且满足Hom-Jacobi等式,当α=id时， Hom-Lie代数即为李代数.因此， Hom-Lie代数包含了李代数. Hom-Leibniz代数是Hom-Lie代数的定义中少了一个条件：不满足反对称性.这说明Hom-Leibniz代数是比Hom-Lie代数更广的一类代数[2].

Hom-代数有Hom-Lie代数、Hom-Lie超代数、Hom-Leibniz代数、Hom-Lie color代数等. Leibniz代数满足反交换时是Lie代数,类似地可以想到与Hom-Leibniz代数联系比较密切的是Hom-Lie代数. Hom-Leibniz代数作为一种代数体系相对于Hom-Lie代数的条件有所放宽，一般情况下,这会使两个代数的性质有所不同.Hom-Leibniz代数的同调和泛中心扩张、Hom-Leibniz代数的性质在文献[3-4]中已有研究.本文证明了Hom-Lie代数的某些性质[5]在Hom-Leibniz代数上仍然是成立的.

1 预备知识

定义1[6]Leibniz代数L是一个向量空间,其上定义了一个括积运算[,]:L×L→L,满足等式:

[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]

∀x,y,z∈L

定义2[6]Hom-代数是一个三元组(g,[,],α)，g是一个K向量空间，“[,]”是g上的一个二元运算，α是一个线性映射，α:g→g，满足

α[x,y]=[α(x),α(y)] ∀x,y∈g

(1)

定义3[6]一个左Hom-Leibniz代数是一个Hom-代数(g,[,],α)满足如下等式:

[α(x),[y,z]]=

[[x,y],α(z)]+[α(y),[x,z]]

(2)

以下将左Hom-Leibniz代数简称为Hom-Leibniz代数.

定义4 Hom-Leibniz代数的同态φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一个线性映射φ:g→h满足

φ[u,v]=[φ(u),φ(v)] ∀u,v∈g

φ∘α=β∘φ

(3)

记Dφ=(u,φ(u))⊂g⊕h

例1 设(L,[,])是一个Leibniz代数，α:L→L是L的自同态,

α([x,y])=[α(x),α(y)],∀x,y∈L.

令[,]α=α([x,y])，则(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代数.

2 主要结果

命题1 给出两个Hom-Leibniz代数(g,[,],α)和(h,[,],β)，那么得到一个新的Hom-Leibniz代数(g⊕h,[,],α+β).定义二元运算和线性映射如下：

Λ2:g⊕h→g⊕h

[(u1,v1),(u2,v2)]=([u1,u2],[v1,v2])

∀u1,u2∈g,v1,v2∈h

α+β:g⊕h→g⊕h

(α+β)(u,v)=(α(u),β(v))

∀u∈g,v∈h

证明：

(α+β)[(u1,v1),(u2,v2)]=

斯内灵堡是以斯内灵上校的名字命名的——斯内灵上校曾命人在瀑布上修建磨坊和锯木厂。在圣保罗作为贸易市镇渐渐扬名的时候，明尼阿波利斯成了著名的货物生产地。就这样，一个是生产中心，一个是贸易中心，明尼阿波利斯和圣保罗两座城市就像池塘里的涟漪一样不断外扩，漫过树林和荒草，沿悬崖朝彼此慢慢延伸。野地里的土路逐渐成为一条条整齐的街道，两座城市的房屋顺着街道连接在了一起。这两座起初由大河相连的城市现在成了孪生双子城，如今行走在公园林荫路上的外地人不时地询问一下自己所在的位置属于双子城的哪一座。

(α[u1,u2],β[v1,v2])=

([α(u1),α(u2)],[β(v1),β(v2)])=

[(α(u1),β(v1)),(α(u2),β(v2))]=

[(α+β)(u1,v1),(α+β)(u2,v2)]

表明(1)式成立.下证(2)式成立.

[(α+β)(u1,v1),[(u2,v2),(u3,v3)]]=

[(α(u1),β(v1)),([u2,u3],[v2,v3])]

又

[[(u1,v1),(u2,v2)],(α+β)(u3,v3)]+

[([u1,u2],[v1,v2])，(α(u3),β(v3))]+

[(α(u2),β(v2)),([u1,u3],[v1,v3])]=

([[u1,u2],α(u3)],[[v1,v2],β(v3)])+

([α(u2),[u1,u3]],[β(v2),[v1,v3]])=

([[u1,u2],α(u3)]+

[α(u2),[u1,u3]],[[v1,v2],β(v3)]+

[β(v2),[v1,v3]])=

([α(u1),[u2,u3]],[β(v1),[v2,v3]])=

[(α(u1),β(v1)),([u2,u3],[v2,v3])]

得证.

命题2一个线性映射φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一个Hom-Leibniz代数同态,当且仅当Dφ⊂g⊕h是(g⊕h,[,],α+β)的一个Hom-Leibniz子代数.

证明：设φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一个Hom-Leibniz代数同态，那么对于∀u,v∈g，有:

[(u,φ(u)),(v,φ(v))]=

([u,v],[φ(u),φ(v)])=

([u,v],φ[u,v])

由此可知Dφ在二元运算[,]下是封闭的.

由(3)式有:

(α+β)(u,φ(u))=(α(u),β∘φ(u))=

(α(u),φ∘α(u))

表明(α+β)(Dφ)∈Dφ,因此，Dφ是(g⊕h,[,],α+β)的一个Hom-Leibniz子代数.

反过来：若Dφ∈g⊕h是(g⊕h,[,],α+β)的一个Hom-Leibniz子代数,则运算封闭,有：

[(u,φ(u)),(v,φ(v))]=

([u,v],(φ(u),φ(v)))∈Dφ

这个式子说明[φ(u),φ(v)]=φ[u,v].

又因为(α+β)(Dφ)⊂Dφ，所以，

(α+β)(u,φ(u))=

(α(u),β∘φ(u))∈Dφ

上式说明β∘φ(u)=φ∘α(u),即β∘φ=φ∘α,因此,φ:(g,[,],α)→(h,[,],β)是一个Hom-Leibniz代数同态.

得证.

3 结束语

本文对Hom-Leibniz代数的直和做了一些讨论，Hom-Leibniz代数的导子、表示等还有待进一步研究.

参考文献：

[1] Hartwig J T, Larsson D, Sliverstrov S D.Deformation of Lie Algebras Usingα-derivations[J].J Algebra, 2005,295(2):314-361.

[2] Makhlouf A, Silvestrov S D.Hom-algebra Structure[J].J.Gen.Lie Theory Appl,2008,2(2):51-64.

[3] Cheng Yongsheng,Su Yucai.(Co)Homology and Universal Central Extension of Hom-Leibniz Algebras[J].Acta Mathematica Sinica,2011,27(5):813-830.

[4] Nourou ISSA A.Some Characterizations of Hom-Leibniz algebras[DB/OL].(2010-11-08).http://arxiv.org/pdf/1011.1731.pdf.

[5] Sheng Yunhe.Representations of Hom-Lie Algebra[J].Algebras and Representation Theory,2012,15(6):1081-1098.

[6] 徐丽媛，王春月，张若兰，等.低维Hom-Leibniz代数分类[J].吉林大学学报(理学版),2013,51(1):74-82.