宽象限相依序列下分位数估计的强相合性及Bahadur表示

蔡际盼，丁立旺，李永明

(1.广西师范学院 数学科学学院，广西 南宁 530023;(2.广西财经学院 信息与统计学院，广西 南宁 530003;(3.上饶师范学院，江西 上饶 334001)

引言

设{Χn,n≥1}是固定概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列，具有相同的分布函数F(x)=P(Χ≤x). 对于p∈(0,1)，F(x)的p阶分位数ζp=inf{x:F(x)≥p}，记为F-1(p)，其中函数F-1(t),0

宽象限相依序列的定义是由王开永和王岳宝[10]2011年提出，并给出了一些宽象限相依随机序列的例子说明宽象限相依随机序列包括所有的广义负相依随机序列、某些正相依随机序列及其它相依随机序列. 在

宽象限相依的研究中，Wang Y.B[11]研究了WOD随机序列的基本更新理论、风险理论及极限理论性质. Shen Aiting[12]建立了宽象限相依序列的 Bernstein 型不等式，并研究了宽象限相依误差下非参数回归模型加权函数估计的强相合性及其收敛速度. 虽然宽象限相依随机序列是正、负相协随机序列的一般化和推广，但其相依结构远异于正、负相协的相依结构. 因此，宽象限相依序列在可靠性理论、渗透性理论及多元分析、工程领域及风险分析中也有广泛的应用背景. 而对于宽象限相依随机序列仍处于研究初期，对其大样本性质的研究目前尚少见.从而本文在宽象限相依随机序列下对其分位数估计及 Behadur 表示进行研究有着重要的意义.

1　定义和引理

定义[13]对于随机变量{Xk,k=1…,n}如果存在有限正实数序列{gL(n)}和xk∈(-∞.tif,+∞)，满足条件

则称随机变量{Xk,k=1,…,n}为Widely Lower Orthant Dependent(WLOD).

对于随机变量{Xk,k=1,…,n}如果存在有限正实数序列{gU(n)}和xk∈(-∞.tif,+∞)，满足条件

则称随机变量{Xk,k=1,…,n}为Widely Upper Orthant Dependent (WUOD).

如果随机变量{Xk,k=1,…,n}既是WLOD的又是WUOD的，则称其是WOD的.WUOD,WLOD和WOD统称为宽相依(WidelyDependent(WD)).

引理1[14]设{Xn,n≥1}是宽象限相依序列，如果函数列{fn(·),n≥1}均为非降函数(或均为非增函数)，则序列{f(Χn)}仍为宽象限相依序列.

引理2[14]设p≥1,{Xn,n≥1}是宽象限相依序列，0

引理3[15]设F(x)是右连续的分布函数，则广义逆函数F-1(t)在0

(i)F-1(F(x))≤x,-∞

(ii)F(F-1(t))≥t,0

(iii)F(x)≥t⟺x≥F-1(t).

引理5设{Xn,n≥1}是具有相同分布函数F(x)的宽象限相依序列，其分布函数在ζp的邻域Np连续可导，密度函数满足0-2，Dn=[ζp-dn,ζp+dn],对任意满足以下条件

则有

注1：当δ=3，β=2，τ=-2时可使引理5中的条件(i)满足.

当δ=2，β=2，τ=2时可使引理5中的条件(ii)满足.

△r,n=Fn(Sr,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p，

g(x)=(Fn(x)-F(x))-(Fn(ζp)-p).

又对所有的x∈[Sr,n,Sr+1,n],由Fn(x)是非降函数，利用微分中值定理得

g(x)≤Fn(Sr+1,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p=△r+1,n+F(Sr+1,n)-F(Sr,n)

≤△r+1,n+qtn，

(1)

g(x)≥Fn(Sr,n)-F(Sr+1,n)-Fn(ζp)+p=△r,n+F(Sr,n)-F(Sr+1,n)

≥△r,n-qtn.

(2)

因此，根据(1)和(2)式可得

(3)

令ηi=I(Xi≤ζp+rtn)-EI(Xi≤ζp+rtn),i=1,2,…,n.

由引理1可知，η1,…,ηn是宽象限相依随机变量，且E|ηi|=0,|ηi|≤2.

又因为

P(|△r+1,n|>tn)=P(|Fn(Sr,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p|>tn)

=I1(n)+I2(n)，

从而利用引理2和Markov不等式，可得

当条件(i)满足时可得

同理可得

因此有

由此得

当条件(ii)满足时可得

同理可得

因此有

由此得

从而

由Borel-Contelli 引理及(3)式就可得

2　主要结果

定理1假设p∈(0,1),{Xn,n≥1}是具有相同的分布函数F(x)的宽象限相依序列，其分布函数在ζp处可导，满足F′(ζp)=f(ζp)>0.若f(x)在ζp的邻域内有界，且对任何满足引理5中的条件(i)或条件(ii)有

证明对于任意的ε>0有

由引理3可得

同理可得

由引理1可知序列{ωi-Eωi≥1}和{υi-Eυi≥1}也是宽象限相依序列，且|ωi-Eωi|≤2,|υi-Eυi|≤2.又因F(x)在ζp点处连续，F′(ζp)>0，是不等式F(x-)≤p≤F(x)的唯一解且F(ζp)=p，由Taylor展开得

所以当n→∞时有

再利用引理2和Markov不等式，可得

于是

再由Borel-contelli 引理可得

定理2设{Xn,n≥1}是具有相同的分布函数F(x)的宽象限相依序列，其分布函数在ζp的邻域Np连续可导，密度函数满足0

证明由定理1得

(4)

再由引理5得

(5)

又根据引理4可得

Fn(ζp,n)-p=O(n-1),

(6)

根据(4)-(6)式并利用Taylor展开可得

其中θn是介于ζp,n与ζp之间的随机变量. 整理上式可得

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