对高考试题中两个平面向量小题的再思考

于彬

平面向量的知识灵活多变，可以与高中的很多知识相结合，同时很多题目的条件也可以通过平面向量的形式告诉我们，因而我们在平常的复习备考中应引起足够的重视.下面就对高考试题中出现的两个与平面向量的知识有关的两个小题进行简单的探讨.

（1）2011年大纲全国卷（理科）第12题：

设向量■，■，■满足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，则■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本题以平面向量为依托，考查四点共圆的知识，由于此知识在初中学习过，从而在老教材中没有出现，而在新课标教材选修4-1中重新提出，对于大纲全国卷的考生比较生疏.同时本题还考查了平面向量的基本知识和数形结合这一重要的数学思想.

解：设向量■=■，■=■，■=■，则■=■-■，■=■-■

由题意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O，A，B，C四点共圆.也就是说，当OC为圆的直径时（如图1），■最大，此时∠OAC=∠OBC=90°，进而Rt△AOC≌Rt△BOC，从而解得■的最大值等于2，故正确答案为A.

进一步思考：■的最小值为多少？

此时还要考虑圆的知识，我们知道同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半.

分析：设向量■=■，■=■，■=■，则■=■-■，■=■-■.

显然当点C位于以O为圆心，半径R=1的圆的以A，B为端点（不含A，B）的优弧上时（如图2），此时■取到最小值1（此时 ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圆心角）.

综上所述，■的最大值和最小值分别为2和1.

■

（2）2003年新课标全国卷（理科）第4题：

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

分析：本题与解析几何相结合，这种形式在高考中出现的非常多.对于本题的解法在很多资料中主要是通过向量运算法则中的平行四边形法则来给出的，在这里我们考虑另一种方法，给人以更明显的感觉。■显然是与■同向的单位向量，对于单位向量我们一般有两种表示方法：一个是坐标轴上的单位向量，一般表示为（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一个是坐标间的单位向量，一般表示为（cosθ，sinθ），其中θ为单位向量与x轴正方向的夹角。下面我们给出本题的解析法.

解：以点A为坐标原点，向量■所在的直线为x轴，正方向与■同向，过点A且与向量■垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系：设点P的坐标为（x，y），∠CAB=θ，则■可表示为（1，0），■可表示为（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），计算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0为参数，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是过∠CAB的角平分线的直线的斜率，于是直线y=tan■x必经过△ABC的内心，故正确答案为B.

（作者单位 山东省东营市胜利第六中学）

编辑 韩 晓

平面向量的知识灵活多变，可以与高中的很多知识相结合，同时很多题目的条件也可以通过平面向量的形式告诉我们，因而我们在平常的复习备考中应引起足够的重视.下面就对高考试题中出现的两个与平面向量的知识有关的两个小题进行简单的探讨.

（1）2011年大纲全国卷（理科）第12题：

设向量■，■，■满足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，则■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本题以平面向量为依托，考查四点共圆的知识，由于此知识在初中学习过，从而在老教材中没有出现，而在新课标教材选修4-1中重新提出，对于大纲全国卷的考生比较生疏.同时本题还考查了平面向量的基本知识和数形结合这一重要的数学思想.

解：设向量■=■，■=■，■=■，则■=■-■，■=■-■

由题意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O，A，B，C四点共圆.也就是说，当OC为圆的直径时（如图1），■最大，此时∠OAC=∠OBC=90°，进而Rt△AOC≌Rt△BOC，从而解得■的最大值等于2，故正确答案为A.

进一步思考：■的最小值为多少？

此时还要考虑圆的知识，我们知道同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半.

分析：设向量■=■，■=■，■=■，则■=■-■，■=■-■.

显然当点C位于以O为圆心，半径R=1的圆的以A，B为端点（不含A，B）的优弧上时（如图2），此时■取到最小值1（此时 ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圆心角）.

综上所述，■的最大值和最小值分别为2和1.

■

（2）2003年新课标全国卷（理科）第4题：

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

分析：本题与解析几何相结合，这种形式在高考中出现的非常多.对于本题的解法在很多资料中主要是通过向量运算法则中的平行四边形法则来给出的，在这里我们考虑另一种方法，给人以更明显的感觉。■显然是与■同向的单位向量，对于单位向量我们一般有两种表示方法：一个是坐标轴上的单位向量，一般表示为（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一个是坐标间的单位向量，一般表示为（cosθ，sinθ），其中θ为单位向量与x轴正方向的夹角。下面我们给出本题的解析法.

解：以点A为坐标原点，向量■所在的直线为x轴，正方向与■同向，过点A且与向量■垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系：设点P的坐标为（x，y），∠CAB=θ，则■可表示为（1，0），■可表示为（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），计算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0为参数，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是过∠CAB的角平分线的直线的斜率，于是直线y=tan■x必经过△ABC的内心，故正确答案为B.

（作者单位 山东省东营市胜利第六中学）

编辑 韩 晓

平面向量的知识灵活多变，可以与高中的很多知识相结合，同时很多题目的条件也可以通过平面向量的形式告诉我们，因而我们在平常的复习备考中应引起足够的重视.下面就对高考试题中出现的两个与平面向量的知识有关的两个小题进行简单的探讨.

（1）2011年大纲全国卷（理科）第12题：

设向量■，■，■满足■=■=1，■·■=-■，<■-■，■-■>=60°，则■的最大值等于（ ）

A.2 B.■

C.■ D.1

分析：本题以平面向量为依托，考查四点共圆的知识，由于此知识在初中学习过，从而在老教材中没有出现，而在新课标教材选修4-1中重新提出，对于大纲全国卷的考生比较生疏.同时本题还考查了平面向量的基本知识和数形结合这一重要的数学思想.

解：设向量■=■，■=■，■=■，则■=■-■，■=■-■

由题意容易得到∠AOB=120°，而<■-■，■-■>=60°，又60°+120°=180°，所以O，A，B，C四点共圆.也就是说，当OC为圆的直径时（如图1），■最大，此时∠OAC=∠OBC=90°，进而Rt△AOC≌Rt△BOC，从而解得■的最大值等于2，故正确答案为A.

进一步思考：■的最小值为多少？

此时还要考虑圆的知识，我们知道同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半.

分析：设向量■=■，■=■，■=■，则■=■-■，■=■-■.

显然当点C位于以O为圆心，半径R=1的圆的以A，B为端点（不含A，B）的优弧上时（如图2），此时■取到最小值1（此时 ∠AOB=120°，是∠ACB=60°的圆心角）.

综上所述，■的最大值和最小值分别为2和1.

■

（2）2003年新课标全国卷（理科）第4题：

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■=■+λ（■+■）·λ∈[0，+∞）。则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

分析：本题与解析几何相结合，这种形式在高考中出现的非常多.对于本题的解法在很多资料中主要是通过向量运算法则中的平行四边形法则来给出的，在这里我们考虑另一种方法，给人以更明显的感觉。■显然是与■同向的单位向量，对于单位向量我们一般有两种表示方法：一个是坐标轴上的单位向量，一般表示为（1，0）（0，1）（0，-1）（-1，0）；另一个是坐标间的单位向量，一般表示为（cosθ，sinθ），其中θ为单位向量与x轴正方向的夹角。下面我们给出本题的解析法.

解：以点A为坐标原点，向量■所在的直线为x轴，正方向与■同向，过点A且与向量■垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系：设点P的坐标为（x，y），∠CAB=θ，则■可表示为（1，0），■可表示为（cosθ，sinθ），于是代入■=■+λ（■+■），计算得：（x，y）=λ[（1，0）+（cosθ，sinθ）]，λ∈[0，+∞），即x=λ（1+cosθ）（1）y=λsinθ（2），λ≥0为参数，用（2）式除以（1）式得：■=1+■=■=tan■，而tan■就是过∠CAB的角平分线的直线的斜率，于是直线y=tan■x必经过△ABC的内心，故正确答案为B.

（作者单位 山东省东营市胜利第六中学）

编辑 韩 晓