俄罗斯高中数学教科书研究及启示

2014-03-29徐乃楠孔凡哲史宁中

长春师范大学学报 2014年12期

关键词：代数教科书导数

徐乃楠，孔凡哲，史宁中

(1.吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000；2.东北师范大学教育学部，吉林长春 130051)

俄罗斯高中数学教科书研究及启示

徐乃楠1，孔凡哲2，史宁中2

(1.吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000；2.东北师范大学教育学部，吉林长春 130051)

俄罗斯高中数学教科书的编写特征对我国当前高中数学课程改革和教科书编写具有重要的借鉴意义。通过对俄罗斯高中《代数与数学分析初步》和《几何》教科书的比较分析，能够梳理出俄罗斯高中数学教科书的主要特点，为我国高中数学课程改革和教科书编写带来一些启示。

俄罗斯；高中数学；教科书

俄罗斯对中国教育的影响是全面而深刻的。从20世纪50年代初开始，苏联时期的教育模式包括教育理论、教育管理、课程结构、教科书等全盘移植到我国并得到进一步的发展。俄罗斯也有一大批数学教科书成为经典。因此，俄罗斯高中数学教科书的编写特点和发展趋势值得我们研究、学习和借鉴。

1 俄罗斯高中数学教科书介绍

苏联解体之后，俄罗斯的数学教育开始从行政命令和强权思想中解放出来[1]。教科书打破了以往全国通用统一的局面，实现了教科书的多版本化。由数学家和大学教师主编的数学教科书种类丰富，但也都是遵照高中数学教育标准和示范性大纲编写的[2]。

1.1 俄罗斯高中《代数与数学分析初步》教科书介绍

(1)柯尔莫戈洛夫主编的《代数与数学分析初步》。该书在由俄罗斯联邦教育部组织开展的中学数学教科书竞赛活动中曾获二等奖(注：当时没有获一等奖的《代数与数学分析初步》)[3]。全书共六章，主要涉及三角函数、导数、积分、指数和对数函数。与我国各版高中教科书不同的是，该书从三角函数入手引入函数概念[4]。

(2)巴什玛科夫主编的《代数与分析初步》。该书在教科书比赛中曾获第一名[5]，全书共六章，主要包括函数、导数、三角函数、指数和对数函数、积分等内容。他主编的基础水平(баэовый уровень)分册教科书，容量上比合订本大得多，增加了“复数、组合数学、概率统计和多项式”等内容[6]。

(3)科里亚金主编的《代数与数学分析初步》。该书可供具有基础和专业水平(базовый и профильный уровни)的学生学习使用，内容上与柯尔莫戈洛夫和巴什马科夫的教科书一样[7]。他主编的专业水平(профильный уровни)教科书知识容量更大，其中带有星号的“二阶导数，简单的微分方程，复数的模和幅角的性质”等内容是“选修的、作为补充的更难内容”[8]。

(4)莫尔特戈维奇主编的《代数与数学分析初步》。该书可供具有基础水平的学生学习使用，分两部分，第一部分(Часть 1)是教科书，包含具体的数学知识，第二部分(Часть 2)是每一章课业习题的详细解法，单独成册[9]。他主编的专业水平分册教科书容量和难度大过合订本[10]。

(5)阿利莫夫主编的《代数与分析初步》。该书主要包括“实数理论、幂函数、指数函数、对数函数、三角公式、三角方程、三角函数、导数、利用导数研究函数、积分”等内容。其中带有星号的“无理不等式，反三角函数，函数的凸性和拐点”等内容是选修的[11]。再版后书名改成了《代数与数学分析初步》，增加了“组合数学、概率论基本原理、统计学”三章[12]。

(6)普拉图谢维奇主编的《代数与数学分析初步》。该书可供具有专业水平的学生学习使用，主要涉及“简单逻辑、集合论等基础知识，整除问题，多项式，函数，幂和对数，三角函数，数列极限，函数极限和连续性，导数及其应用，不定积分定积分，复数，概率论”等内容。其中“多项式、凸函数、波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、全概率公式”等，都是我们大学数学专业课程的内容[13]。

(7)尼科利斯基编写的《代数与数学分析初步》。该书可供具有基础和专业水平的学生学习使用，主要包括“根式、幂、对数，三角公式、三角函数，概率论初步，函数，导数，积分，方程和不等式、方程组和不等式组，复数”。带有星号的“需要深入研究的、更高难度的问题”也很多[14]。

1.2 俄罗斯高中《几何》教科书介绍

(1)阿塔纳相主编的《几何》。该书可供具有基础和专业水平的学生学习使用。主要包括“直线与平面平行，直线与平面垂直，多面体，空间向量，空间坐标法和变换，圆柱、圆锥和球，物体体积，平面几何学的一些知识”等内容。其中带有星号的知识点“三面角、多面角、欧拉定理”等内容，以及“平面几何学的知识”不是具有基础水平的学生必须学习的[15]。

(2)巴卡列洛夫主编的《几何》。该书可供具有基础和专业水平的学生学习使用，主要包括“立体几何公理及其简单推论，线、面平行，线、面垂直，空间笛卡儿坐标系和向量，多面体，旋转体，多面体体积，旋转体体积和表面积，平面几何问题选编”。其中带有星号的知识点“三面角、多面角、欧拉定理、相似变换、圆柱体的内切球、圆柱体表面的截面”等内容，以及“平面几何学”不是具有基础水平的学生必须学习的[16]。

(3)卡利宁、捷列圣主编的《几何》。该书可供具有专业水平的学生学习使用，主要包括“立体几何学引论、多面体理论基础、空间点的几何轨迹、空间变换、问题解决、旋转体、空间向量(后续部分)、最大值和最小值问题、物体的体积和表面积”等内容。另选编了“平面几何学的理论和方法”，包括“赛瓦定理和梅涅劳斯定理”等内容。其中带有星号的知识点“欧拉定理、空间相似定理”等内容，以及“问题解决”是“高于正常难度的内容”[17]。

(4)斯米尔诺娃、斯米尔诺夫主编的《几何》。该书可供具有基础和专业水平的学生学习使用，包括“立体几何学初步、空间的平行、空间的垂直、多面体、圆形体、体积和表面积、坐标和向量、平面几何”等内容。其中带有星号的“欧拉定理，星状多面体，麦比乌斯带”等内容，以及“平面几何”是“高于正常难度的补充资料”[18]。斯米尔诺娃主编的《几何》是提供给具有人文倾向的学生学习使用的，知识容量和难度较小，并且介绍了大量的数学史料[19]。

2 俄罗斯高中数学教科书的特点及启示

2.1 教科书内容选取遵循教育标准、示范大纲，知识容量和内容广度较大

俄罗斯高中几套《代数与数学分析初步》最基本的内容主要包括：函数、导数、积分、方程和不等式以及“整数整除性和多项式、组合数学、概率论基础、统计学、复数、数列极限”等内容。《几何》主要包括：立体几何基本理论、平行问题、垂直问题、多面体、旋转体、空间向量、平面解析几何。平面解析几何一般是具有基础水平的学生选学的内容，或作为附录知识选编出现。

我国高中数学教科书内容都没有突破课程标准，与俄罗斯相比基本内容仍然较少。受高考指挥棒的影响，很多高中都利用两年时间学完全部数学课程，剩下的一年时间专门用于重复性的复习和训练，学生功利性的升学导向导致对数学的兴趣索然，机械性的训练使学生丧失了学习和追求数学精神的兴趣和积极性[20]。高中和大学教学内容的衔接问题也值得认真思考，大学课程重讲一遍微积分，影响学生学习的兴趣和效率。

2.2 教科书知识内容的难度较大，重视数学英才教育内容的设置

俄罗斯数学教科书的难度被世界公认[21]，高中数学教科书中很多代数内容如“闭区间连续函数的性质及其若干定理、高阶导数、泰勒级数、微分中值定理、微分方程、多元多项式和对称多项式、换元积分和分部积分、大数定律、条件概率和全概率公式”等，几何内容如“向量的数量积、混合积及其几何意义，梅捏劳斯定理和赛瓦定理，麦比乌斯带，星状多面体，变换群”等，都是我国大学课程的教学内容。

我国高中数学课程对一些难度较高的数学知识不是没有考虑，只是全都安排在选修课程当中，内容与必修课程的联系不够密切。现实中很多学校并未开展这样的专题讲座，原因主要是高考不考这些内容，很多教师对这些现代数学内容不好把握。

2.3 教科书编排直线式和螺旋式相结合，几何内容组织呈公理化特征

俄罗斯《代数与数学分析初步》基本上遵循“函数-导数-积分”的脉络组织内容，另补充一些组和数学、概率统计内容。在一些知识点的编排上则遵从螺旋的方式，大部分先讲幂函数、指数函数、三角函数及其性质，但在导数、积分应用等教学中仍会详细地讨论这些函数性质，并在后面继续讨论这些函数的方程和不等式求解问题。我国的课程教育也是呈螺旋式上升，代数、几何和概率统计混排，在一些知识内容的螺旋衔接上还需要逐步完善。

俄罗斯高中《几何》教科书的内容组织建立在公理体系基础上。理由是“它对数学思维的发展给予良好的影响，有利于理解数学理论的抽象性的本质和意义，保证了有可能把理论应用到种种具体情况中去。”[22]虽受新数运动影响后的俄罗斯数学教育改革中公理化特点逐渐变弱，尤其在中小学阶段沙雷金的直观几何非常有名，但俄罗斯大部分几何教科书还是公理化体系组织数学内容，同时综合向量几何和坐标几何，而平面解析几何基本上是选修。

2.4 教科书重视数学史的编排和设计，渗透和传播数学文化观念

俄罗斯高中新版教育标中指出“数学与信息学”课程领域的学习要求应保证学生“形成数学与信息学生成的相关社会、文化和历史因素观；形成数学是人类文化组成部分的观念”[23]。一般教科书中都包含了相对较长的“独立阅读”单元，这部分材料专注于介绍数学史，主题甚至与所学的课程内容关系不大。

教科书中数学史料的编排和设计也较为系统，巴什马科夫的教科书对数学史的编排方式尤其值得我们借鉴，既有“章首导引”，又有正文渗透和旁注，还有“章末阅读”[24]。我国教科书中也设置很多的数学史内容，但相对零散[25]。

2.5 教科书课后习题的容量较大，编排呈分层化、体系化的基本特征

俄罗斯高中数学教科书精心选择的习题量非常之大。柯尔莫戈洛夫主编的《代数与数学分析初步》有2026道习题，而科里亚金主编的《代数与数学分析初步》有2412道习题。这些习题不是一个个习题的简单罗列，而是一个“习题体系”。

我国高中数学课程中的习题量没有俄罗斯教科书的习题量大，这与我们一直强调素质教育和减负等总体要求有关。实际上，学生有大量的练习册等辅助习题资料，并未因教科书中的习题量少而减少负担。教辅材料的质量良莠不齐，质量难以保障，编排也不系统、缺乏层次。

2.6 教科书栏目设计清晰、印刷精良、图文并茂，装帧设计精美

俄罗斯教科书的栏目设计丰富，专门设置了章末阅读栏目，书后会给出这些习题的参考答案。最后附有全书的主题内容索引。正文编排图文并茂、纸张优良、装帧设计精美，一般为17cm×22.5cm开本，封皮硬纸壳装订，既美观大方，又耐磨结实。我们高中各版本教科书都是大开本，不好装置，装帧设计和印刷质量也不能很好地吸引学生。

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[3]朱文芳.俄罗斯数学教育的最新进展[M].北京:北京师范大学出版社,2011:135.

[4] А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2008.

[5] М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа[M]. 10-11 класс. Москва: Дрофа Издательство, 2005.

[6] М. И. Башмаков. Алгебра и начала анализа[M].10/11 класс (баэовый уровень). Москва: Дрофа Издательство, 2008.

[7] Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (базовый и профильный уровни). Москва: Дрофа Издательство, 2011.

[8] Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (профильный уровни). Москва: Мнемозина Издательство, 2009/2010.

[9]А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 класс(базовый уровни) Часть 1. Москва: Мнемозина Издательство, 2009.

[10] А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 класс (профильный уровни) Часть 1. Москва: Мнемозина Издательство, 2009/2012.

[11]Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2007.

[12]Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2012.

[13]М.Я.Пратусевич,К.М.Столбов, А. Н. Головин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 классов(профильный уровни). Москва: Просвещение Издательство, 2009/2010.

[14]С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. Алгебра и начала математического анализа[M]. 10/11 классов(базовый и профильный уровни).Москва: Просвещение Издательство, 2009.

[15]Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов,С.Б.Кадомцев,Л.С.Киселева,Э.Г.Позняк. Геометрия[M]. 10-11 классов(базовый и профильный уровни). Москва: Просвещение Издательство, 2011.

[16] A. B. Погорелов. Геометрия[M]. 10-11 классов. Москва: Просвещение Издательство, 2009.

[17] А. Ю. Калинин, Д. А. Терёшин. Геометрия[M]. 10-11 классов(профильный уровни). Москва: МЦНМО, 2011.

[18] И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия[M]. 10-11 классов(базовый и профильный уровни). Москва: Мнемозина Издательство, 2008.

[19] И. М. Смирнова. Геометрия[M]. 10-11 классов(гуманитарный профиль). Москва: Мнемозина Издательство, 2007.

[20]刘鹏飞,徐乃楠. 数学教育的人文化[J].吉林师范大学学报:人文社科版,2013(6):126-129.

[21]史宁中,孔凡哲. 十二个国家普通高中数学课程标准的国际比较研究[M].长沙:湖南教育出版社,2013:92-94.

[22]斯托利亚尔. 数学教育学[M].丁尔陛,等,译.北京:人民教育出版社,1984:169.

[23]徐乃楠,孔凡哲.俄罗斯高中数学教育标准最新进展及启示[J]. 数学通报,2013,52(4):5-8.

[24]徐乃楠,孔凡哲,刘鹏飞.俄罗斯高中数学教科书中的数学史及其启示[J].吉林师范大学学报:自然科学版,2013,(4):152-156.

[25]徐乃楠.中俄高中数学教科书中的数学史研究[M].长春:东北师范大学出版社,2014.

2014-09-06

国家社科基金教育学2012年度国家重点课题(AHA120008)；吉林省教育厅“十二五”社会科学研究项目(吉教科文合字[2013]第156号)。