从数学修养到数学文化

郑斯宁

(大连理工大学数学科学学院，辽宁大连116024)

文化是人类文明的积淀、科学与人文成果的结晶.大学以传承人类文明为使命，应当是集科学与人文经典之大成的神圣殿堂.一个人的文化品位，其实就是他自身的科学、人文等精神特质.“理性思维”是科学活动的基本要素，良好的数学修养对科学工作大有益处.每一个现代文明人从小学一年级就开始接受数学教育，经受数学文化的熏陶.“激情”与“理性”都是校园文化不可或缺的.

数学向各学科渗透是大趋势.人们普遍认为：如果某研究结果尚不能用数学刻画，该研究也许尚处“幼稚”阶段.数学符号和公式频繁出现在各类学术论文和专著中，不含数学的科学论文现在太难找了.数学家获经济学诺贝尔奖早已不稀奇.“秀”数学几乎成为“时尚”，甚至“数学深度”也成为衡量论文档次的重要标志之一.无形中给人这样的感觉：一个人的数学修养，直接关系到其科研工作的层次，以及个人的科学、文化品位.这到底是怎么回事？又该如何应对呢？

这得从现代科学谈起.一百年来，特别是二战以后，现代科学使得人类文明的进程突然加快了.如今每个地球人每天享受的现代科学成果，每分每秒都在更新，达到眼花缭乱的程度.这一突然加速的根本原因年在于：自文艺复兴后，人类终于走上了科学发展的“正道”.何谓“正道”？爱因斯坦曾精辟地概括说：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是古希腊哲学家所发明的形式逻辑体系，以及发现通过系统的实验可能找出因果关系[1].”简单地说，科学就是“数学+实验”.

近代科学开端于欧洲文艺复兴时代，代表人物是伽利略.他提出以实验作为科学的基础，并主张用数学描述科学，用实验验证科学[2].四百多年前的一天，他从比萨斜塔扔下的两个铁球，向世人演示了最通俗的科学实验，也宣告了人类真正意义的科学时代的到来.比萨斜塔实验一百年后，牛顿-莱布尼兹构建的微积分使“用数学描述科学”成为可能.那个时代包括行星轨道在内的一大批用数学描述科学的成功案例，曾使人们激动不已，也成为现代科学的重要标志.又过了两百年，爱因斯坦的狭义及广义相对论等划时代科学发现，更加突显了数学在科学的地位，也使科学达到更高的境界.在他看来，数学是描述科学的语言，更是发展科学的工具.形式逻辑推理(数学)和实验正是他心目中科学发展的两大支柱.我们可以从爱因斯坦石破惊天的理论发现，清晰感悟人类理性思维与数学逻辑的神奇光芒.

那么，数学修养或数学文化有怎样的内涵？数学能力包括哪些？我们认为主要是逻辑推理、计算和“数学化”这三要素.

数学无处不在.先看最简单的例子.

例12010年南非世界杯西班牙队进球不多却最终夺冠.自然要问：夺冠至少需要进几个球？小组赛三场允许平局，不进球也可积3分，只要其它三队中，一个队一平二胜(7分)，另两个队均二平一负(2分)，即可以小组第二出线进入16强.四轮淘汰赛都必须分出胜负，所以每场进一个球(含点球决胜负)为最低限度.于是可得出至少进4球才能夺冠的严格结论.注意，这只是夺冠的必要而非充分条件：进4球不见得夺冠，但不进4球注定不能夺冠.这个逻辑推理只需小学数学知识.

例2过度肥胖是许多现代人的苦恼.流行的“体重指数=体重/身高平方”道理何在？横截面积与高度之比相等的人(柱体)为相似.那么，分子、分母同乘以高度.横截面积乘以高度为体积，再乘以比重(不妨无量纲化为1)为体重，于是(不论高矮)体重与身高平方之比为某常数的人，即属于体重指数相同的一类，其正常范围为22±2.航天员们的体重指数全都十分接近22这个中心位置.

逻辑推理是数学的根本.公元前600年的欧几里得《几何原本》，堪称人类文明发展史中的经典，全球累计印刷数仅次于《圣经》，2000多年后的今天仍被作为每个地球人接受逻辑推理训练的儿时启蒙内容.从公理出发的形式逻辑推理至今仍然是证明数学真理的唯一途径.现代数学这个高深莫测的庞然大物，其实就是从几条并不复杂的公理出发，经过一代又一代数学人不断进行演绎、推理，累积而成.作为集体推理的结果，就原理和方法来讲，与《几何原本》并无二至.世界各国数学人每天所做的，不过就是在不同分支和平台上，根据前人已有结果继续进行逻辑推理而已.这个推理过程相当艰辛.例如，具有轰动效应的费尔马猜想、庞加莱猜想这类里程碑式成果的最终证明，全都经历了几代人、数十年甚至数百年的艰苦努力.数学创新，首先要需要进入前沿或相应的平台，这需要大量准备性学习和工作的积累；但就数学逻辑推理能力训练本身(特别是对非数学类学科专业来说)，并非一定要有那样高的平台不可.每门数学课、每篇学术论文，甚至日常生活，都有这样的训练机会.人的精力有限，如果把所遇到的问题的细节都搞清楚，其研究工作肯定走不远.但如果事事都不求甚解，习惯于盲目接受，从不问“为什么”，注定无力读懂从定理、公式出发的简单推导，更不用说用数学进行推理创新了.逻辑推理的能力训练是他人无法替代的.在哪个平台训练也许并不重要，但一定要有读懂证明、完成证明的若干亲身经历.可以说，逻辑推理能力强一寸，数学功力就长一分.

“计算”的重要性似乎最容易理解.但许多人也许不知道：第一，数学中的计算大都是作为逻辑推理的一部分，为逻辑推理服务的；第二，数学人的任务只是建立计算的理论和方法，而非计算具体的实际问题本身.关于计算的另一个要点是：计算应该从“首位”算起，首先判断“数量级”，而不是末位的“精度”，正如幂级数或傅立叶级数展开式中，越靠前的项越要紧.先去抓“西瓜”而不是“芝麻”.当然，“阈值”附近的末位“精度”是重要的.

“数学化”就是我们常说的数学建模.日常工作、生活中的许多现象可以抽象为数学问题；经过数学处理后，再还原回去.前面两个例子说明，许多实际问题的“数学化”并不需要高深的数学.当然，反映深刻科学规律的数学模型另当别论.例如，热传导方程的建立，需要在傅立叶实验定律、热量守恒定律等物理定律的基础上，经由高斯公式、牛顿-莱布尼兹公式等数学工具的推导才能完成.

我们的民族曾经拥有过以四大发明为代表的辉煌的古代科学技术成就，但冷静分析就会发现：逻辑推理和科学实验恰为中华传统文化的弱项.本世纪中华民族伟大复兴的前提是高度发展的科学技术.从这个意义说，数学修养和数学文化，不仅事关个人的文化品位和科研工作的水平，而且事关民族复兴的伟业.作为一名数学教师，使命光荣，责任重大.

[参 考 文 献]

[1] 爱因斯坦 A. 1953年给斯威策J E的信—爱因斯坦文集(第一卷)[M].北京：商务印书馆，1983：574.

[2] 丹皮尔 W C. 科学史(上册)[M].北京：商务印书馆，1997:194-202.